Questão 13.

Use a série de potências para resolver a equação
y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
y'' + y = 0
usando a série de potências. O conteúdo aqui é aplicar séries de potências a EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos assumir que a solução pode ser escrita como
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
achar a relação de recorrência e, em seguida, reconhecer as séries resultantes.

Passo 2

Assumimos
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Diferenciando duas vezes,
y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.

Passo 3

Para somar y'' e y sob o mesmo índice, mudamos n-2 = m em y'':
y''(x) = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,x^m,
e
y(x) = \sum_{m=0}^{\infty} a_m\,x^m.
Então
y''(x) + y(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \Bigl[(m+2)(m+1)\,a_{m+2} + a_m\Bigr] x^m = 0.
Daí vem a relação de recorrência
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} + a_m = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{m+2} = -\frac{a_m}{(m+2)(m+1)}.

Passo 4

Separamos os termos de índice par e ímpar.
Para m=2k:
a_{2k+2} = -\frac{a_{2k}}{(2k+2)(2k+1)},
iterando e usando a_0 livre, obtém-se
a_{2k} = (-1)^k\,\frac{a_0}{(2k)!}.
Para m=2k+1:
a_{2k+3} = -\frac{a_{2k+1}}{(2k+3)(2k+2)},
iterando e usando a_1 livre, obtém-se
a_{2k+1} = (-1)^k\,\frac{a_1}{(2k+1)!}.

Passo 5

Reescrevendo a solução geral como soma dos termos pares e ímpares:
y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_{2k}\,x^{2k} + \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1}\,x^{2k+1} = a_0 \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + a_1 \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Reconhecemos as séries de \cos x e \sin x.

Resposta

y(x) = a_0 \cos x + a_1 \sin x,
onde a_0 e a_1 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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