Questão 12:
Seja
a) Calcule o volume de
;
b) Calcule
.
c) Quanto dá a integral do item (b) se mudarmos a segunda equação em
para
? Não faça contas.
Resposta: a)
; b)
; c) 0
b) Calcule
c) Quanto dá a integral do item (b) se mudarmos a segunda equação em
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede três coisas:
- (a) calcular o volume de
; - (b) calcular
; - (c) dizer quanto valeria a integral do item (b) se a segunda condição de
fosse , sem fazer contas.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A primeira desigualdade descreve a bola de raio
centrada na origem: (em coordenadas esféricas). - A segunda desigualdade é o complemento (fora) da bola de centro
e raio . - A terceira desigualdade é o complemento da bola de centro
e raio . - O conjunto
é, portanto, a bola unitária centrada na origem, com removidas as partes que estão dentro das duas outras bolas indicadas (ou seja, com os centros e raios acima).
Passo 2
Escolha do método e coordenadas: vamos usar coordenadas esféricas porque as três desigualdades envolvem
e deslocamentos em
, e a bola unitária fica muito simples em esféricas. Vou lembrar as fórmulas e o jacobiano:
- Coordenadas esféricas (convencionais):
, (ângulo polar medido a partir do eixo ), . - Relações cartesianas:
- Volume elemento:
Explicação curta:
é a distância ao origem,
determina a latitude (quanto mais próximo de
, maior
), e
é o ângulo em torno do eixo
. O jacobiano
aparece pela mudança de variáveis e é essencial ao integrar volumes.
Passo 3
Traduzir as desigualdades para esféricas.
- A primeira desigualdade
vira simplesmente
- A segunda desigualdade
. Expando:
o que simplifica para
Usando
obtemos
lembrando que se
a desigualdade é automaticamente satisfeita (pois o lado direito é
e
). Portanto, para
(isto é,
) exige-se
.
- A terceira desigualdade
. Expandindo:
ou
novamente lembrando que se
o lado direito é
e a desigualdade é automática; a condição é ativa apenas quando
(hemisfério inferior), exigindo então
.
Conclusão das condições em termos de
para cada
:
- Se
(parte superior): precisa . - Se
: , ambas as condições são automáticas (passa ). - Se
(parte inferior): precisa .
Entretanto, dentro da bola unitária há também a restrição
. Para existir pontos com
entre o limite inferior e
, precisamos que o limite inferior seja
. Assim determinamos os intervalos de
onde há pontos em
:
-
Para a parte superior: condição
é necessária. Isso dá , ou seja . Portanto, na parte superior só existem pontos de para , e para esses varia de até . -
Para a parte inferior: condição
é necessária. Isso dá , ou seja . Como estamos na parte inferior , e para esses varia de até .
Assim a região
em esféricas corresponde a:
Passo 4
Cálculo do volume de
(item a).
O volume em coordenadas esféricas é
Faço a integral em
explicitamente:
Assim
Agora simplifico as potências:
Portanto o integrando fica, respectivamente,
e
.
Mudança
(então
) é muito conveniente. Calculam-se separadamente as integrais necessárias:
-
-
-
com dá -
dá
Substituo esses valores:
Simplificando passo a passo:
Logo o parêntese é
Escrevendo
e combinando termos:
Assim o parêntese vale
. Multiplicando por
obtemos
Logo o volume é
Passo 5
Cálculo de
(item b).
Usamos esféricas novamente:
. O integrando fica
. Segue a integral com os mesmos limites de
determinados antes:
Faço a integral em
:
Logo
Simplificando as potências:
Logo os integrandos ficam
e
.
Agora uso a substituição
. Então
, ou seja
. Além disso quando
,
;
dá
;
dá
.
Transformando as integrais:
Organizo para integrar em sentido crescente:
Calculo cada integral:
Portanto a diferença é
. Assim
Logo
Passo 6
Resposta ao item (c) (argumento sem contas).
Se a segunda desigualdade fosse
, então as duas bolas excluídas seriam centradas em
e
, ambas de raio
. Nesse caso a região resultante seria simétrica em relação ao plano
(a reflexão
troca as duas exclusões e deixa a bola unitária inalterada), e a função
é ímpar em relação a esse plano. Pelo argumento de simetria, a integral de
sobre uma região simétrica em
será zero (as contribuições positivas e negativas se cancelam). Portanto a integral do item (b) passaria a valer