Questão 12:

Seja
W=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} \geq \frac{1}{2}, x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2} \geq 1\right\}
a) Calcule o volume de W;
b) Calcule \iiint_{W} z d x d y d z.
c) Quanto dá a integral do item (b) se mudarmos a segunda equação em W para x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \geq 1 ? Não faça contas.
Resposta: a) \frac{1+\sqrt{2}}{4} \pi; b) \pi / 24; c) 0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; x^{2}+y^{2}+(z-1/\sqrt{2})^{2}\ge 1/2,\; x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}\ge 1\}
e pede três coisas:
  • (a) calcular o volume de W;
  • (b) calcular \displaystyle \iiint_{W} z\,dx\,dy\,dz;
  • (c) dizer quanto valeria a integral do item (b) se a segunda condição de W fosse x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\ge 1, sem fazer contas.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A primeira desigualdade descreve a bola de raio 1 centrada na origem: \rho\le 1 (em coordenadas esféricas).
  • A segunda desigualdade é o complemento (fora) da bola de centro (0,0,1/\sqrt{2}) e raio 1/\sqrt{2}.
  • A terceira desigualdade é o complemento da bola de centro (0,0,-1) e raio 1.
  • O conjunto W é, portanto, a bola unitária centrada na origem, com removidas as partes que estão dentro das duas outras bolas indicadas (ou seja, W = B_0 \setminus (B_1\cup B_2) com os centros e raios acima).

Passo 2

Escolha do método e coordenadas: vamos usar coordenadas esféricas porque as três desigualdades envolvem x^{2}+y^{2}+z^{2} e deslocamentos em z, e a bola unitária fica muito simples em esféricas. Vou lembrar as fórmulas e o jacobiano:
  • Coordenadas esféricas (convencionais): \rho\ge 0, 0\le\varphi\le\pi (ângulo polar medido a partir do eixo +z), 0\le\theta<2\pi.
  • Relações cartesianas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Volume elemento:
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta: \rho é a distância ao origem, \varphi determina a latitude (quanto mais próximo de 0, maior z), e \theta é o ângulo em torno do eixo z. O jacobiano \rho^{2}\sin\varphi aparece pela mudança de variáveis e é essencial ao integrar volumes.

Passo 3

Traduzir as desigualdades para esféricas.
  1. A primeira desigualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1 vira simplesmente
0\le \rho\le 1.
  1. A segunda desigualdade x^{2}+y^{2}+(z-1/\sqrt{2})^{2}\ge 1/2. Expando:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-\sqrt{2}\,z+\tfrac{1}{2}\ge \tfrac{1}{2}
o que simplifica para
\rho^{2}-\sqrt{2}\,z\ge 0.
Usando z=\rho\cos\varphi obtemos
\rho^{2}-\sqrt{2}\,\rho\cos\varphi\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad \rho\ge \sqrt{2}\cos\varphi,
lembrando que se \cos\varphi\le 0 a desigualdade é automaticamente satisfeita (pois o lado direito é \le 0 e \rho\ge0). Portanto, para \cos\varphi>0 (isto é, 0\le\varphi<\pi/2) exige-se \rho\ge \sqrt{2}\cos\varphi.
  1. A terceira desigualdade x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}\ge 1. Expandindo:
\rho^{2}+2z+1\ge 1\quad\Longrightarrow\quad \rho^{2}+2z\ge 0,
ou
\rho^{2}+2\rho\cos\varphi\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad \rho\ge -2\cos\varphi,
novamente lembrando que se \cos\varphi\ge 0 o lado direito é \le 0 e a desigualdade é automática; a condição é ativa apenas quando \cos\varphi<0 (hemisfério inferior), exigindo então \rho\ge -2\cos\varphi.
Conclusão das condições em termos de \rho para cada \varphi:
  • Se 0\le\varphi<\pi/2 (parte superior): precisa \rho\ge \sqrt{2}\cos\varphi.
  • Se \varphi=\pi/2: \cos\varphi=0, ambas as condições são automáticas (passa \rho\ge 0).
  • Se \pi/2<\varphi\le\pi (parte inferior): precisa \rho\ge -2\cos\varphi.
Entretanto, dentro da bola unitária há também a restrição \rho\le 1. Para existir pontos com \rho entre o limite inferior e 1, precisamos que o limite inferior seja \le 1. Assim determinamos os intervalos de \varphi onde há pontos em W:
  • Para a parte superior: condição \sqrt{2}\cos\varphi\le 1 é necessária. Isso dá \cos\varphi\le 1/\sqrt{2}, ou seja \varphi\ge \pi/4. Portanto, na parte superior só existem pontos de W para \varphi\in[\pi/4,\pi/2], e para esses \rho varia de \rho=\sqrt{2}\cos\varphi até \rho=1.
  • Para a parte inferior: condição -2\cos\varphi\le 1 é necessária. Isso dá \cos\varphi\ge -1/2, ou seja \varphi\le 2\pi/3. Como estamos na parte inferior \varphi\in[\pi/2,2\pi/3], e para esses \rho varia de \rho=-2\cos\varphi até 1.
Assim a região W em esféricas corresponde a:
\theta\in[0,2\pi],\qquad \begin{cases} \varphi\in[\pi/4,\pi/2],& \rho\in[\sqrt{2}\cos\varphi,\,1],\\[4pt] \varphi\in[\pi/2,2\pi/3],& \rho\in[-2\cos\varphi,\,1]. \end{cases}]

Passo 4

Cálculo do volume de W (item a).
O volume em coordenadas esféricas é
V=\iiint_{W} dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\!\int_{\rho=\sqrt{2}\cos\varphi}^{1} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=\pi/2}^{2\pi/3}\!\int_{\rho=-2\cos\varphi}^{1}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Faço a integral em \rho explicitamente:
\int_{\rho=a}^{1}\rho^{2}\,d\rho=\frac{1}{3}\bigl(1-a^{3}\bigr).
Assim
V=\frac{2\pi}{3}\left[\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\bigl(1-(\sqrt{2}\cos\varphi)^{3}\bigr)\,d\varphi +\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin\varphi\bigl(1-(-2\cos\varphi)^{3}\bigr)\,d\varphi\right].
Agora simplifico as potências:
(\sqrt{2}\cos\varphi)^{3}=2\sqrt{2}\cos^{3}\varphi,\qquad (-2\cos\varphi)^{3}=-8\cos^{3}\varphi.
Portanto o integrando fica, respectivamente, \sin\varphi(1-2\sqrt{2}\cos^{3}\varphi) e \sin\varphi(1+8\cos^{3}\varphi).
Mudança u=\cos\varphi (então du=-\sin\varphi\,d\varphi) é muito conveniente. Calculam-se separadamente as integrais necessárias:
  • \displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • \displaystyle \int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{\pi/2}^{2\pi/3} = \frac{1}{2}.
  • \displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\cos^{3}\varphi\,d\varphi com u=\cos\varphi \int_{1/\sqrt{2}}^{0} -u^{3}du = \frac{1}{16}.
  • \displaystyle \int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin\varphi\cos^{3}\varphi\,d\varphi -\int_{0}^{-1/2}u^{3}du = -\frac{1}{64}.
Substituo esses valores:
V=\frac{2\pi}{3}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{16}+\frac{1}{2}+8\cdot\bigl(-\tfrac{1}{64}\bigr)\Bigr).
Simplificando passo a passo:
-2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{2}}{8},\qquad 8\cdot\bigl(-\tfrac{1}{64}\bigr)=-\tfrac{1}{8}.
Logo o parêntese é
\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}.
Escrevendo \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} e combinando termos:
\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{3\sqrt{2}}{8},\quad \frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.
Assim o parêntese vale \frac{3}{8}(\sqrt{2}+1). Multiplicando por \frac{2\pi}{3} obtemos
V=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{8}(\sqrt{2}+1)=\frac{\pi}{4}(\sqrt{2}+1).
Logo o volume é
\boxed{V=\frac{1+\sqrt{2}}{4}\,\pi.}

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \iiint_{W} z\,dV (item b).
Usamos esféricas novamente: z=\rho\cos\varphi. O integrando fica \rho\cos\varphi\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{3}\sin\varphi\cos\varphi. Segue a integral com os mesmos limites de \rho,\varphi,\theta determinados antes:
I=\iiint_{W} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/4}^{\pi/2}\!\int_{\sqrt{2}\cos\varphi}^{1} \rho^{3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\!\int_{-2\cos\varphi}^{1}\rho^{3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Faço a integral em \rho:
\int_{a}^{1}\rho^{3}\,d\rho=\frac{1}{4}(1-a^{4}).
Logo
I=\frac{\pi}{2}\left[\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\bigl(1-(\sqrt{2}\cos\varphi)^{4}\bigr)\,d\varphi +\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin\varphi\cos\varphi\bigl(1-(-2\cos\varphi)^{4}\bigr)\,d\varphi\right].
Simplificando as potências:
(\sqrt{2}\cos\varphi)^{4}=4\cos^{4}\varphi,\qquad (-2\cos\varphi)^{4}=16\cos^{4}\varphi.
Logo os integrandos ficam \sin\varphi\cos\varphi(1-4\cos^{4}\varphi) e \sin\varphi\cos\varphi(1-16\cos^{4}\varphi).
Agora uso a substituição u=\cos^{2}\varphi. Então du=-2\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi, ou seja \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=-\tfrac{1}{2}du. Além disso quando \varphi=\pi/4, u=1/2; \varphi=\pi/2 u=0; \varphi=2\pi/3 u=(\!-1/2)^{2}=1/4.
Transformando as integrais:
I=\frac{\pi}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left[\int_{1/2}^{0}(1-4u^{2})\,du+\int_{0}^{1/4}(1-16u^{2})\,du\right].
Organizo para integrar em sentido crescente:
I=\frac{\pi}{4}\left[\int_{0}^{1/2}(1-4u^{2})\,du - \int_{0}^{1/4}(1-16u^{2})\,du\right].
Calculo cada integral:
\int_{0}^{1/2}(1-4u^{2})\,du = \left[u-\tfrac{4}{3}u^{3}\right]_{0}^{1/2} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3},
\int_{0}^{1/4}(1-16u^{2})\,du = \left[u-\tfrac{16}{3}u^{3}\right]_{0}^{1/4} = \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{6}.
Portanto a diferença é \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{6}. Assim
I=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{\pi}{24}.
Logo
\boxed{\displaystyle \iiint_{W} z\,dV=\frac{\pi}{24}.}

Passo 6

Resposta ao item (c) (argumento sem contas).
Se a segunda desigualdade fosse x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\ge 1, então as duas bolas excluídas seriam centradas em (0,0,1) e (0,0,-1), ambas de raio 1. Nesse caso a região resultante seria simétrica em relação ao plano z=0 (a reflexão z\mapsto -z troca as duas exclusões e deixa a bola unitária inalterada), e a função z é ímpar em relação a esse plano. Pelo argumento de simetria, a integral de z sobre uma região simétrica em z será zero (as contribuições positivas e negativas se cancelam). Portanto a integral do item (b) passaria a valer
\boxed{0}.

Resposta

\displaystyle V=\frac{1+\sqrt{2}}{4}\,\pi
\displaystyle \iiint_{W} z\,dV=\frac{\pi}{24}
\displaystyle\text{\text{(c)} }0

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