Questão 7:
Calcule o volume delimitado pelas equações
Resposta:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- A região é formada pelos pontos
que satisfazem as duas condições simultaneamente: - Isto significa: pontos que estão no interior (ou na superfície) da esfera de centro
e raio , e ao mesmo tempo estão no exterior (ou na superfície) da esfera de centro e raio .
- A região é formada pelos pontos
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume da região que satisfaz ambas as desigualdades (ou seja, o volume do conjunto dentro da segunda esfera e fora da primeira).
Passo 2
Interpretação geométrica e localização da curva de interseção.
- As duas esferas são idênticas (mesmo raio
) com centros separados por distância : centros em e . - A interseção das duas superfícies (onde as duas equações de igualdade valem) ocorre resolvendo
Subtraindo a primeira da segunda obtemos - Logo, as superfícies intersectam-se numa circunferência no plano
. - A região pedida é a parte da esfera centrada em
que fica do lado exterior à esfera centrada em . Geometricamente, é o “cap” (ou lente) da esfera de cima que está para , mais a parte mais alta até .
Passo 3
Escolha do método de cálculo e coordenadas: fatias horizontais (coord. cilíndricas).
- Vou usar fatias horizontais por planos de altura
. Para volume, integrar a área da secção transversal (em ) em cada nível . - Em coordenadas polares no plano
(ou sea, usar e com ), a área de uma seção circular de raio é . - Para cada
fixo, as duas desigualdades dão restrições em : - Estar dentro da esfera centrada em
: ⇒ . Vou chamar esse raio máximo de - Estar fora da esfera centrada em
: ⇒ . Vou chamar isso de
- Estar dentro da esfera centrada em
- Para existir uma faixa radial em um dado
precisamos ter . Vamos estudar isso para determinar o intervalo de .
Passo 4
Determinar o intervalo em
onde a região existe e simplificar as expressões.
- Calcular a diferença:
- Assim, para haver pontos com as duas condições é preciso
, ou seja . Isso coincide com a interseção em e a intuição geométrica. - Limites verticais da esfera superior: como ela é centrada em
com raio , varia entre e . Combinando com , a região ocupa . - Observação prática para integrar por fatias:
- Para
temos , então a secção é um anel com raios até . - Para
temos , logo (a condição é automaticamente satisfeita), e a secção é um disco de raio .
- Para
Passo 5
Montar a integral do volume usando as áreas das secções.
- A área da secção em altura
é: - Para
: (usando a simplificação feita no passo anterior). - Para
:
- Para
- O volume é a integral da área em
:
Passo 6
Calcular a primeira integral (parte entre
e
) com detalhes.
- Integral:
- Primitiva de
é . Avaliando:
Passo 7
Calcular a segunda integral (parte entre
e
) com detalhes.
- Integral:
- Primitiva de
é . Avaliando: Calcular cada parte: Diferença: Multiplicando por dá .
Passo 8
Somar as duas partes e simplificar para obter o volume final.
- Soma:
- Colocando em denominador comum
: