Questão 7:

Calcule o volume delimitado pelas equações
x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1
Resposta: 11 \pi / 12

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A região é formada pelos pontos (x,y,z) que satisfazem as duas condições simultaneamente: x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 1, \qquad x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1.
    • Isto significa: pontos que estão no interior (ou na superfície) da esfera de centro (0,0,1) e raio 1, e ao mesmo tempo estão no exterior (ou na superfície) da esfera de centro (0,0,0) e raio 1.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o volume da região que satisfaz ambas as desigualdades (ou seja, o volume do conjunto dentro da segunda esfera e fora da primeira).

Passo 2

Interpretação geométrica e localização da curva de interseção.
  • As duas esferas são idênticas (mesmo raio 1) com centros separados por distância 1: centros em (0,0,0) e (0,0,1).
  • A interseção das duas superfícies (onde as duas equações de igualdade valem) ocorre resolvendo x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.Subtraindo a primeira da segunda obtemos z^{2}-(z-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2z-1=0 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{1}{2}.
  • Logo, as superfícies intersectam-se numa circunferência no plano z=\tfrac{1}{2}.
  • A região pedida é a parte da esfera centrada em (0,0,1) que fica do lado exterior à esfera centrada em (0,0,0). Geometricamente, é o “cap” (ou lente) da esfera de cima que está para z\ge\tfrac{1}{2}, mais a parte mais alta até z=2.

Passo 3

Escolha do método de cálculo e coordenadas: fatias horizontais (coord. cilíndricas).
  • Vou usar fatias horizontais por planos de altura z. Para volume, integrar a área da secção transversal (em xy) em cada nível z.
  • Em coordenadas polares no plano xy (ou sea, usar r e \theta com r^{2}=x^{2}+y^{2}), a área de uma seção circular de raio R é \pi R^{2}.
  • Para cada z fixo, as duas desigualdades dão restrições em r^{2}:
    • Estar dentro da esfera centrada em (0,0,1): r^{2}+(z-1)^{2}\le 1 r^{2}\le 1-(z-1)^{2}. Vou chamar esse raio máximo de r_{\text{max}}^{2}=1-(z-1)^{2}.
    • Estar fora da esfera centrada em (0,0,0): r^{2}+z^{2}\ge 1 r^{2}\ge 1-z^{2}. Vou chamar isso de r_{\text{min}}^{2}=1-z^{2}.
  • Para existir uma faixa radial em um dado z precisamos ter r_{\text{min}}^{2}\le r_{\text{max}}^{2}. Vamos estudar isso para determinar o intervalo de z.

Passo 4

Determinar o intervalo em z onde a região existe e simplificar as expressões.
  • Calcular a diferença: r_{\text{max}}^{2}-r_{\text{min}}^{2}=\bigl(1-(z-1)^{2}\bigr)-\bigl(1-z^{2}\bigr)=2z-1.
  • Assim, para haver pontos com as duas condições é preciso 2z-1\ge 0, ou seja z\ge \tfrac{1}{2}. Isso coincide com a interseção em z=\tfrac{1}{2} e a intuição geométrica.
  • Limites verticais da esfera superior: como ela é centrada em z=1 com raio 1, varia z entre 0 e 2. Combinando com z\ge\tfrac{1}{2}, a região ocupa z\in[\tfrac{1}{2},2].
  • Observação prática para integrar por fatias:
    • Para z\in\bigl[\tfrac{1}{2},1\bigr] temos r_{\text{min}}^{2}=1-z^{2}\ge 0, então a secção é um anel com raios r_{\text{min}} até r_{\text{max}}.
    • Para z\in[1,2] temos 1-z^{2}\le 0, logo r_{\text{min}}=0 (a condição r^{2}\ge 1-z^{2} é automaticamente satisfeita), e a secção é um disco de raio r_{\text{max}}.

Passo 5

Montar a integral do volume usando as áreas das secções.
  • A área da secção em altura z é:
    • Para z\in\bigl[\tfrac{1}{2},1\bigr]: A(z)=\pi\bigl(r_{\text{max}}^{2}-r_{\text{min}}^{2}\bigr)=\pi(2z-1).(usando a simplificação feita no passo anterior).
    • Para z\in[1,2]: A(z)=\pi\,r_{\text{max}}^{2}=\pi\bigl(1-(z-1)^{2}\bigr)=\pi(-z^{2}+2z).
  • O volume é a integral da área em z: V=\int_{z=\tfrac{1}{2}}^{1}\pi(2z-1)\,dz \;+\; \int_{z=1}^{2}\pi(-z^{2}+2z)\,dz.

Passo 6

Calcular a primeira integral (parte entre z=\tfrac{1}{2} e z=1) com detalhes.
  • Integral: \int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\pi(2z-1)\,dz = \pi\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}(2z-1)\,dz.
  • Primitiva de 2z-1 é z^{2}-z. Avaliando: \pi\bigl[z^{2}-z\bigr]_{z=\tfrac{1}{2}}^{1} =\pi\bigl[(1^{2}-1)-\bigl((\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigr] =\pi\bigl[0-\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigr] =\pi\bigl(-(-\tfrac{1}{4})\bigr)=\pi\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 7

Calcular a segunda integral (parte entre z=1 e z=2) com detalhes.
  • Integral: \int_{1}^{2}\pi(-z^{2}+2z)\,dz = \pi\int_{1}^{2}(-z^{2}+2z)\,dz.
  • Primitiva de -z^{2}+2z é -\tfrac{1}{3}z^{3}+z^{2}. Avaliando: \pi\Bigl[-\tfrac{1}{3}z^{3}+z^{2}\Bigr]_{1}^{2} =\pi\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot 8+4\bigr)-\bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot 1+1\bigr)\Bigr).Calcular cada parte: -\tfrac{8}{3}+4 = -\tfrac{8}{3}+\tfrac{12}{3}=\tfrac{4}{3}, \qquad -\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}.Diferença: \tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{3}.Multiplicando por \pi \dfrac{2\pi}{3}.

Passo 8

Somar as duas partes e simplificar para obter o volume final.
  • Soma: V=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{2\pi}{3}.
  • Colocando em denominador comum 12: V=\frac{3\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}=\frac{11\pi}{12}.

Resposta

\dfrac{11\pi}{12}

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