Questão 11:

Seja \Omega dado por
\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geq \sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}, x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2} \leq 9\right\},
calcule a integral I=\iiint_{\Omega} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d x d y d z.
Resposta: \frac{4 \pi}{3}(8-3 \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geq \sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)},\; x^{2}+y^{2+(z-1)^{2}} \geq 1,\; x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2} \leq 9\right\}
e pede para calcular a integral
I=\iiint_{\Omega}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dx\,dy\,dz.
Informações importantes dadas pelo enunciado (listando explicitamente):
  • A primeira condição z \geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2})} define uma região acima de um cone com vértice na origem.
  • A segunda condição x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \geq 1 diz que estamos fora (ou sobre) a esfera de centro (0,0,1) e raio 1.
  • A terceira condição x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2} \leq 9 diz que estamos dentro (ou sobre) a esfera de centro (0,0,3) e raio 3.
  • A função a integrar depende apenas da distância ao origem: \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 2

Escolher coordenadas e interpretar as fronteiras geometricamente (aqui explico as coordenadas que vou usar).
  • Por simetria (a função depende só de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}) e pelas superfícies (cone e esferas centradas no eixo z), é natural usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo com o eixo z (colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explico por que cada fronteira fica simples nessas coordenadas:
  • A condição do cone z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é
\rho\cos\varphi=\sqrt{3}\,\rho\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \cot\varphi=\sqrt{3}.
Isso dá \tan\varphi=1/\sqrt{3}, portanto \varphi=\pi/6. Como a região exige z\ge\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}, isso corresponde a \varphi\in[0,\pi/6] (ou seja, direções próximas ao eixo +z).
  • Para a esfera centrada em (0,0,1) com raio 1: escrever x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=\rho^{2}-2\rho\cos\varphi+1. Igualando a 1 obtemos
\rho^{2}-2\rho\cos\varphi+1=1 \quad\Rightarrow\quad \rho(\rho-2\cos\varphi)=0,
logo a superfície é dada por \rho=2\cos\varphi (a outra solução \rho=0 é o ponto trivial). A desigualdade x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\ge 1 significa que estamos para fora (ou sobre) dessa esfera, portanto \rho\ge 2\cos\varphi.
  • Para a esfera centrada em (0,0,3) com raio 3: de modo análogo,
x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=\rho^{2}-6\rho\cos\varphi+9,
igualando a 9 obtemos \rho(\rho-6\cos\varphi)=0, então a superfície é \rho=6\cos\varphi. A desigualdade x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}\le 9 implica \rho\le 6\cos\varphi.
  • Observação: como \varphi\in[0,\pi/6], temos \cos\varphi>0 e as expressões \rho=2\cos\varphi e \rho=6\cos\varphi são positivas e ordenadas ( 2\cos\varphi \le 6\cos\varphi ), então fazem sentido como limites radiais.

Passo 3

Montar a integral em coordenadas esféricas.
  • A integranda \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} em esféricas é simplesmente \dfrac{1}{\rho} porque \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O integrando vezes o jacobiano fica
\frac{1}{\rho}\cdot \rho^{2}\sin\varphi = \rho\sin\varphi.
  • Os limites (conforme deduzido) são \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[0,\pi/6], \rho\in[\,2\cos\varphi,\;6\cos\varphi\,].
    Portanto a integral é
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{2\cos\varphi}^{6\cos\varphi} \rho\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em \rho.
\int_{2\cos\varphi}^{6\cos\varphi}\rho\,d\rho=\left.\frac{\rho^{2}}{2}\right|_{2\cos\varphi}^{6\cos\varphi} =\frac{1}{2}\big((6\cos\varphi)^{2}-(2\cos\varphi)^{2}\big).
Agora simplifico:
(6\cos\varphi)^{2}-(2\cos\varphi)^{2}=(36-4)\cos^{2}\varphi=32\cos^{2}\varphi,
logo
\int_{2\cos\varphi}^{6\cos\varphi}\rho\,d\rho=\frac{1}{2}\cdot 32\cos^{2}\varphi=16\cos^{2}\varphi.
Substituindo na integral sobre \varphi,\theta temos
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6} 16\cos^{2}\varphi\;\sin\varphi \;d\varphi\; d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \varphi usando substituição.
  • Faço a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi.
  • Quando \varphi=0 temos u=1. Quando \varphi=\pi/6 temos u=\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2.
  • A integral em \varphi vira
\int_{0}^{\pi/6}16\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =16\int_{0}^{\pi/6}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =16\int_{u=1}^{\sqrt{3}/2} u^{2}(-du) =16\int_{\sqrt{3}/2}^{1} u^{2}\,du.
  • Integro u^{2}:
16\int_{\sqrt{3}/2}^{1}u^{2}\,du=16\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{\sqrt{3}/2}^{1} =\frac{16}{3}\left(1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\right).
  • Calculo \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}. Então
\frac{16}{3}\left(1-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)=\frac{16}{3}\cdot\frac{8-3\sqrt{3}}{8} =\frac{2}{3}\big(8-3\sqrt{3}\big).
Portanto a integral sobre \varphi vale \dfrac{2}{3}\big(8-3\sqrt{3}\big).

Passo 6

Calcular a integral em \theta e finalizar.
  • A integral em \theta é trivial: multiplicar por \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  • Assim
I=2\pi\cdot \frac{2}{3}\big(8-3\sqrt{3}\big)=\frac{4\pi}{3}\big(8-3\sqrt{3}\big).

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}\bigl(8-3\sqrt{3}\bigr)

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