Questão 12. Sejam \varphi_{1}, \varphi_{2}:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} duas soluções l.i. para
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0,
\operatorname{com} \varphi_{1}(t) \neq 0 para todo t \in(a, b).
a) Mostre que \frac{d}{d t}\left(\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}}\right)=\frac{W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}{\varphi_{1}^{2}}.
b) Use a fórmula de Abel para obter uma expressão para \varphi_{2}.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0
e diz que \varphi_{1} e \varphi_{2} são duas soluções linearmente independentes em (a,b), com \varphi_{1}(t)\neq0 para todo t.
a) Precisamos mostrar que
\frac{d}{dt}\!\biggl(\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}}\biggr) =\frac{W(\varphi_{1},\varphi_{2})}{\varphi_{1}^{2}}.
b) Em seguida, usar a fórmula de Abel, que dá o valor do wronskiano W(t), para obter uma expressão explícita para \varphi_{2}(t).

Passo 2

Para qualquer duas funções suficientemente suaves, vale a regra do quociente:
\frac{d}{dt}\biggl(\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}}\biggr) =\frac{\varphi_{2}'\,\varphi_{1}-\varphi_{2}\,\varphi_{1}'}{\varphi_{1}^{2}}.
Mas a definição do wronskiano é
W(\varphi_{1},\varphi_{2}) =\varphi_{1}\,\varphi_{2}'-\varphi_{2}\,\varphi_{1}'.
Logo,
\frac{d}{dt}\!\biggl(\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}}\biggr) =\frac{W(\varphi_{1},\varphi_{2})}{\varphi_{1}^{2}}.

Passo 3

Pela fórmula de Abel, o wronskiano satisfaz
W(t)=W(t_{0})\,\exp\Bigl(-\!\int_{t_{0}}^{t}p(s)\,ds\Bigr).
Usando isso em
\frac{d}{dt}\!\biggl(\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}}\biggr) =\frac{W(t)}{\varphi_{1}(t)^{2}}
e integrando de t_{0} até t, obtemos
\frac{\varphi_{2}(t)}{\varphi_{1}(t)} =\frac{\varphi_{2}(t_{0})}{\varphi_{1}(t_{0})} +W(t_{0}) \int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-\int_{t_{0}}^{s}p(u)\,du}}{\varphi_{1}(s)^{2}}\,ds.
Multiplicando ambos os lados por \varphi_{1}(t), segue a expressão geral para \varphi_{2}:

Resposta

\varphi_{2}(t) =\varphi_{1}(t)\Biggl( \frac{\varphi_{2}(t_{0})}{\varphi_{1}(t_{0})} +W(t_{0}) \int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-\displaystyle\int_{t_{0}}^{s}p(u)\,du}}{\varphi_{1}(s)^{2}}\,ds \Biggr).

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