Questão 12. Sejam
duas soluções l.i. para
para todo
.
a) Mostre que
.
b) Use a fórmula de Abel para obter uma expressão para
.
a) Mostre que
b) Use a fórmula de Abel para obter uma expressão para
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
e diz que
e
são duas soluções linearmente independentes em
, com
para todo
.
a) Precisamos mostrar que
a) Precisamos mostrar que
b) Em seguida, usar a fórmula de Abel, que dá o valor do wronskiano
, para obter uma expressão explícita para
.
Passo 2
Para qualquer duas funções suficientemente suaves, vale a regra do quociente:
Mas a definição do wronskiano é
Logo,
Passo 3
Pela fórmula de Abel, o wronskiano satisfaz
Usando isso em
e integrando de
até
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
, segue a expressão geral para
: