Questão 1. a) (0,5 \mathrm{pt}) Defina o que dizer que as funções \varphi_{1}, \varphi_{2}: I \rightarrow \mathbb{R} são funções l.i.
b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) As funções \varphi_{1}(t)=t^{3} e \varphi_{2}(t)=|t|^{3} definidas no item anterior são l.i.? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente defina o que significa dizer que duas funções \varphi_{1},\varphi_{2}:I\to\mathbb{R} são linearmente independentes (l.i.), e depois que apliquemos essa definição às funções \varphi_{1}(t)=t^{3} e \varphi_{2}(t)=|t|^{3} (com I=\mathbb{R}) para verificar se elas são l.i.

Passo 2

Dizemos que \varphi_{1} e \varphi_{2} são linearmente independentes em I se, sempre que existirem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,\varphi_{1}(t)+\beta\,\varphi_{2}(t)=0 \quad\text{para todo }t\in I,
então necessariamente \alpha=0 e \beta=0. Em outras palavras, a única combinação linear que é identicamente nula é a combinação trivial.

Passo 3

Aplique essa definição às funções \varphi_{1}(t)=t^{3} e \varphi_{2}(t)=|t|^{3}. Suponha que existam \alpha,\beta tais que
\alpha\,t^{3}+\beta\,|t|^{3}=0 \quad\forall t\in\mathbb{R}.
Para t>0 temos |t|^{3}=t^{3}, logo
(\alpha+\beta)\,t^{3}=0\quad\forall t>0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha+\beta=0.
Para t<0 temos |t|^{3}=(-t)^{3}=-\,t^{3}, logo
(\alpha-\beta)\,t^{3}=0\quad\forall t<0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha-\beta=0.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\ \alpha-\beta=0, \end{cases}
obtemos \alpha=0 e \beta=0. Isso mostra que não há combinação não-trivial que anule ambas as funções, ou seja, são linearmente independentes.

Resposta

Sim. As funções \varphi_{1}(t)=t^{3} e \varphi_{2}(t)=|t|^{3} são linearmente independentes em \mathbb{R}, pois a única solução do sistema \alpha\,\varphi_{1}+\beta\,\varphi_{2}=0 é \alpha=\beta=0.

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