Questão 1. a)
Defina o que dizer que as funções
são funções l.i.
b) (
) As funções
e
definidas no item anterior são l.i.? Justifique sua resposta.
b) (
Passo 1
O enunciado pede primeiro que a gente defina o que significa dizer que duas funções
são linearmente independentes (l.i.), e depois que apliquemos essa definição às funções
e
(com
) para verificar se elas são l.i.
Passo 2
Dizemos que
e
são linearmente independentes em
se, sempre que existirem escalares
tais que
então necessariamente
e
. Em outras palavras, a única combinação linear que é identicamente nula é a combinação trivial.
Passo 3
Aplique essa definição às funções
e
. Suponha que existam
tais que
Para
temos
, logo
Para
temos
, logo
Passo 4
Resolvendo o sistema
obtemos
e
. Isso mostra que não há combinação não-trivial que anule ambas as funções, ou seja, são linearmente independentes.
Resposta
Sim. As funções
e
são linearmente independentes em
, pois a única solução do sistema
é
.