Questão 12. Verifique que a substituição e , onde e são números naturais tais que , reduz a EDO
a uma EDO com coeficientes homogêneos e em seguida determine a solução geral da equação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, com a substituição
onde satisfazem , a EDO
passa a ter coeficientes homogêneos, e então encontrar a solução geral.
Conteúdo: equações de primeira ordem com coeficientes homogêneos e mudança de variáveis.
Passo 2
Escolhemos tais que . A menor escolha natural é
pois e . Logo faremos
Passo 3
Calculamos os diferenciais
e substituímos em cada termo da EDO:
Multiplicando por e obtemos
que simplifica para
Dividindo por 6, fica
Passo 4
Note que
são homogêneos de grau 11, pois e .
Portanto a EDO é homogênea em .
Passo 5
Escrevemos a EDO na forma
Como é homogênea, definimos , onde .
Passo 6
Temos
Fazendo a álgebra e separando as variáveis, obtém-se uma integral do tipo