Questão 12. Verifique que a substituição x=u^m e y=v^n, onde m e n são números naturais tais que 2 m=3 n, reduz a EDO
(2 x^3+4 x y(x)^3) d x+(6 x^2 y(x)^2-3 y(x)^5) d y=0
a uma EDO com coeficientes homogêneos e em seguida determine a solução geral da equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, com a substituição
,x=u^m,;y=v^n
onde m,ninN satisfazem 2m=3n, a EDO
l(2x^3+4x,y^3r),dx+l(6x^2y^2-3y^5r),dy=0
passa a ter coeficientes homogêneos, e então encontrar a solução geral.
Conteúdo: equações de primeira ordem com coeficientes homogêneos e mudança de variáveis.

Passo 2

Escolhemos m,n tais que 2m=3n. A menor escolha natural é
m=3, n=2,
pois 2cdot3=6 e 3cdot2=6. Logo faremos
x=u^3, y=v^2

Passo 3

Calculamos os diferenciais
dx=3u^2,du, dy=2v,dv,
e substituímos em cada termo da EDO:
2x^3+4x,y^3 =2u^9+4u^3(v^2)^3 =2u^9+4u^3v^6,
6x^2y^2-3y^5 =6u^6v^4-3v^10
Multiplicando por dx e dy obtemos
(2u^9+4u^3v^6),3u^2,du+(6u^6v^4-3v^10),2v,dv=0,
que simplifica para
6l(u^11+2u^5v^6r),du +6l(2u^6v^5-v^11r),dv=0
Dividindo por 6, fica
l(u^11+2u^5v^6r),du +l(2u^6v^5-v^11r),dv=0

Passo 4

Note que
M(u,v)=u^11+2u^5v^6, N(u,v)=2u^6v^5-v^11
são homogêneos de grau 11, pois
,M(lambda u,lambda v)=lambda^11M(u,v) e
,N(lambda u,lambda v)=lambda^11N(u,v).
Portanto a EDO é homogênea em u,v.

Passo 5

Escrevemos a EDO na forma
dvdu =-M(u,v)N(u,v) =-u^11+2u^5v^62u^6v^5-v^11
Como é homogênea, definimos v=zu, onde z=z(u).

Passo 6

Temos
dvdu =z+udzdu Longrightarrow z+udzdu =-1+2z^62z^5-z^11
Fazendo a álgebra e separando as variáveis, obtém-se uma integral do tipo
integralz^5(2-z^6)1+4z^6-z^12,dz =-integralduu

Passo 7

No lado esquerdo, com t=z^6 e dt=6z^5dz, a integral reduz-se a
16integral2-t1+4t-t^2,dt =112lnl|t^2-4t-1r|+C
Logo obtemos
lnl|z^12-4z^6-1r| =-12ln|u|+C1 Longrightarrow l(z^12-4z^6-1r)u^12=C

Passo 8

Voltando a v e u, z=v/u, a solução implícita em u,v é
v^12-4u^6v^6-u^12=C

Passo 9

Finalmente revertendo para x,y pela relação u=x^1/3, v=y^1/2:
u^6=x^2,; u^12=x^4,; v^6=y^3,; v^12=y^6
y^6-4x^2y^3-x^4=C,
que é a solução geral procurada.

Resposta

y^6-4x^2y^3-x^4=C, onde C é constante arbitrária.

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