QUESTÃO 13: Em uma certa escala fictícia de temperatura, denominada aqui FANTÁSTICA ( { }^{\circ} F T ), o gelo derrete a 45^{\circ} F T e a água evapora a 295^{\circ} F T. Calcule a temperatura, na escala Celsius, de uma substância com 212,5^{\circ} F T.

Passo 1

O enunciado fornece pontos de referência da escala FANTÁSTICA e pede a temperatura correspondente em Celsius. Informações dadas:
\text{gelo derrete a }45^\circ\mathrm{FT}
\text{água evapora a }295^\circ\mathrm{FT}á
Esses pontos correspondem, em Celsius, a:
0^\circ\mathrm{C}\quad\text{(fusão do gelo)}ã
100^\circ\mathrm{C}\quad\text{(ebulição da água)}çãá
O que se pede: calcular a temperatura em Celsius de uma substância que está a 212,5^\circ\mathrm{FT}.

Passo 2

Vamos explicar o porquê de podermos usar uma relação linear entre as escalas. Escalas de temperatura como Celsius e escalas lineares fictícias são relacionadas por uma transformação afim (reta): um aumento fixo em Celsius corresponde a um aumento fixo na outra escala. Em termos simples: se duas temperaturas de referência conhecidas (0°C e 100°C) correspondem a dois valores na escala FANTÁSTICA, então toda a escala FANTÁSTICA é obtida por uma reta aplicada à escala Celsius. Isso permite usar uma equação do tipo “reta” para converter entre escalas.

Passo 3

Definimos uma equação linear que relaciona a temperatura na escala FANTÁSTICA T_{\mathrm{FT}} com a temperatura em Celsius T_{\mathrm{C}}:
T_{\mathrm{FT}} = a\,T_{\mathrm{C}} + b
onde:
  • T_{\mathrm{FT}} é a temperatura na escala FANTÁSTICA (em ^{\circ}\mathrm{FT}),
  • T_{\mathrm{C}} é a temperatura em Celsius (em ^{\circ}\mathrm{C}),
  • a e b são constantes reais que precisamos determinar usando os dois pontos de referência.

Passo 4

Usamos os dois pares de referência para obter equações para a e b.
Para T_{\mathrm{C}}=0^\circ\mathrm{C} temos T_{\mathrm{FT}}=45^\circ\mathrm{FT}:
45^\circ\mathrm{FT} = a\cdot 0^\circ\mathrm{C} + b \quad\Rightarrow\quad b = 45
Para T_{\mathrm{C}}=100^\circ\mathrm{C} temos T_{\mathrm{FT}}=295^\circ\mathrm{FT}:
295^\circ\mathrm{FT} = a\cdot 100^\circ\mathrm{C} + b
Substituindo b=45:
295 = 100a + 45
Agora resolvemos para a:
295 - 45 = 100a
250 = 100a
a = \frac{250}{100} = 2,5

Passo 5

Agora que temos a e b, escrevemos a fórmula direta e a fórmula inversa (que nos interessa):
fórmula direta:
T_{\mathrm{FT}} = 2,5\,T_{\mathrm{C}} + 45
isolando T_{\mathrm{C}} (fórmula inversa):
T_{\mathrm{C}} = \frac{T_{\mathrm{FT}} - 45}{2,5}
Aqui T_{\mathrm{C}} é a temperatura em Celsius que queremos calcular a partir de um valor dado T_{\mathrm{FT}} na escala FANTÁSTICA.

Passo 6

Aplicamos a fórmula inversa ao valor dado 212,5^\circ\mathrm{FT}:
T_{\mathrm{C}} = \frac{212,5 - 45}{2,5}
Calcule passo a passo:
212,5 - 45 = 167,5
T_{\mathrm{C}} = \frac{167,5}{2,5}
Para facilitar a divisão, multiplicamos numerador e denominador por 10:
\frac{167,5}{2,5} = \frac{1675}{25}
Agora fazemos a divisão inteira:
1675 \div 25 = 67
Logo:
T_{\mathrm{C}} = 67^\circ\mathrm{C}

Passo 7

Verificação rápida (checando se volta para 212,5^\circ\mathrm{FT}):
2,5\cdot 67 + 45 = 167,5 + 45 = 212,5
A verificação confirma que o cálculo está correto. Força aí — você já resolveu a conversão!

Resposta

67^\circ\mathrm{C}

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