QUESTÃO 11: Um bloco de metal de massa 100 g à temperatura ambiente \left(25,0^{\circ} \mathrm{C}\right) foi colocado em 250 ml de água à 90,0^{\circ} \mathrm{C}. O sistema atingiu o equilíbrio na temperatura de 84,7^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: calor específico da água: c_{a}=1,00 \mathrm{cal} /\left(g^{\circ} \mathrm{C}\right) e densidade da água: \rho=1,00 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}.
a) Calcule o calor específico do metal.
b) Determine a variação de entropia do sistema água-metal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o calor específico do metal.
  2. (b) Determinar a variação de entropia do sistema água + metal.
Dados fornecidos (listei em forma clara para não nos perder):
  • massa do bloco de metal: m_{m}=100\\ \mathrm{g};
  • temperatura inicial do metal: T_{m,i}=25{,}0^\circ\mathrm{C};
  • volume da água: 250\\ \mathrm{ml}. Como a densidade da água é \rho=1{,}00\\ \mathrm{g/ml}, a massa da água é m_{a}=250\\ \mathrm{g} (peguei este dado do enunciado: densidade \rho=1{,}00\\ \mathrm{g/ml});
  • temperatura inicial da água: T_{a,i}=90{,}0^\circ\mathrm{C};
  • temperatura de equilíbrio: T_{f}=84{,}7^\circ\mathrm{C};
  • calor específico da água: c_{a}=1{,}00\\ \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C}).
Observações importantes (para não esquecer na resolução):
  • supondo que não há troca de calor com o ambiente, o calor perdido pela água é igual ao calor ganho pelo metal (primeiro princípio da termodinâmica aplicado ao sistema isolado).
  • para calcular variação de entropia usaremos a expressão válida para calor a temperatura variável com calor específico constante: \Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\bigg(\frac{T_f}{T_i}\bigg), lembrando que as temperaturas devem estar em Kelvin.

Passo 2

Resolvendo a parte (a): achar o calor específico do metal c_{m}.
Primeiro conceito que usamos: conservação de energia (sem perdas):
\text{calor perdido pela água} = \text{calor ganho pelo metal}.á
Escrevendo isso em fórmulas com calor específico:
m_{a} c_{a} \big(T_{a,i}-T_{f}\big) = m_{m} c_{m} \big(T_{f}-T_{m,i}\big).
Aqui:
  • m_{a} é a massa da água (em gramas),
  • c_{a} é calor específico da água (em \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C})),
  • T_{a,i} é a temperatura inicial da água,
  • T_{f} é a temperatura final (equilíbrio),
  • m_{m} é a massa do metal,
  • c_{m} é o calor específico do metal (o que queremos),
  • T_{m,i} é a temperatura inicial do metal.
Agora isolamos c_{m}:
c_{m}=\frac{m_{a} c_{a} \big(T_{a,i}-T_{f}\big)}{m_{m}\big(T_{f}-T_{m,i}\big)}.
Substituindo os números (atenção às unidades: tudo em g e °C, consistentes com c em \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C})):
m_{a}=250\\ \mathrm{g},\quad c_{a}=1{,}00\\ \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C}),
T_{a,i}=90{,}0^\circ\mathrm{C},\quad T_{f}=84{,}7^\circ\mathrm{C},
m_{m}=100\\ \mathrm{g},\quad T_{m,i}=25{,}0^\circ\mathrm{C}.
Calculemos os termos passo a passo:
T_{a,i}-T_{f}=90{,}0-84{,}7=5{,}3^\circ\mathrm{C},
T_{f}-T_{m,i}=84{,}7-25{,}0=59{,}7^\circ\mathrm{C}.
Agora o numerador:
m_{a} c_{a} (T_{a,i}-T_{f})=250\cdot 1{,}00 \cdot 5{,}3 = 1325\\ \mathrm{cal}.
E o denominador:
m_{m}(T_{f}-T_{m,i})=100\cdot 59{,}7=5970\\ \mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}.
Logo
c_{m}=\frac{1325}{5970}\\ \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}222\\ \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C}).
Interpretação: o metal tem calor específico menor que a água (água é 1{,}00); isso é comum para muitos metais (eles aquecem mais para a mesma energia).

Passo 3

Agora a parte (b): variação de entropia do sistema água + metal.
Conceito usado: para um corpo com calor específico aproximadamente constante, a variação de entropia ao ir de T_i a T_f (processo reversível infinitesimal) é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\bigg(\frac{T_f}{T_i}\bigg).
Explico por quê, de forma simples: a entropia é definida como dS=\frac{\delta Q_\text{rev}}{T}. Para um corpo que recebe uma pequena quantidade de calor à temperatura instantânea T, \delta Q=m c\, dT. Substituindo e integrando obtemos a fórmula acima. É necessária a temperatura em Kelvin porque a entropia envolve razões de temperatura absolutas.
Vamos aplicar essa fórmula separadamente para a água e para o metal, e somar (porque a entropia é função de estado e o sistema total tem variação igual à soma das partes).
Primeiro, convertemos temperaturas para Kelvin:
T_{a,i}=90{,}0^\circ\mathrm{C}=90{,}0+273{,}15=363{,}15\\ \mathrm{K},
T_{m,i}=25{,}0^\circ\mathrm{C}=25{,}0+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K},
T_{f}=84{,}7^\circ\mathrm{C}=84{,}7+273{,}15=357{,}85\\ \mathrm{K}.
Cálculo da variação de entropia da água ( \Delta S_{a}):
\Delta S_{a}=m_{a} c_{a} \ln\!\bigg(\frac{T_{f}}{T_{a,i}}\bigg) =250\cdot 1{,}00 \cdot \ln\!\bigg(\frac{357{,}85}{363{,}15}\bigg).
Calcule o argumento do ln:
\frac{357{,}85}{363{,}15}\approx 0{,}985406\quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigg(\frac{357{,}85}{363{,}15}\bigg)\approx -0{,}0147005.
Portanto
\Delta S_{a}=250\cdot (-0{,}0147005)\\ \mathrm{cal/K}\approx -3{,}675\\ \mathrm{cal/K}.
(Sinal negativo: a água perdeu calor, logo sua entropia diminuiu.)
Cálculo da variação de entropia do metal ( \Delta S_{m}):
\Delta S_{m}=m_{m} c_{m} \ln\!\bigg(\frac{T_{f}}{T_{m,i}}\bigg).
Aqui usamos o c_{m} obtido no Passo 2: c_{m}\approx 0{,}222\\ \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C}) — como as unidades de °C e K têm a mesma escala de incremento, podemos usar o mesmo valor de c em \mathrm{cal}/(g\,\mathrm{K}).
Substituindo:
\Delta S_{m}=100\cdot 0{,}222 \cdot \ln\!\bigg(\frac{357{,}85}{298{,}15}\bigg).
Calcule o argumento do ln:
\frac{357{,}85}{298{,}15}\approx 1{,}200334\quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigg(\frac{357{,}85}{298{,}15}\bigg)\approx 0{,}182600.
Então
\Delta S_{m}=100\cdot 0{,}222 \cdot 0{,}182600 \\ \mathrm{cal/K}\approx 4{,}053\\ \mathrm{cal/K}.
(Sinal positivo: o metal recebeu calor e sua entropia aumentou.)
Agora somamos para obter a variação total de entropia do sistema:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{a}+\Delta S_{m}\approx -3{,}675 + 4{,}053 = 0{,}378\\ \mathrm{cal/K}.
Interpretação física: a variação total de entropia é positiva (aproximadamente 0{,}378\\ \mathrm{cal/K}), o que está de acordo com a segunda lei da termodinâmica para processos espontâneos reais (entropia do sistema isolado não diminui). Aqui houve transferência de calor da água quente para o metal frio; a produção líquida de entropia é pequena, positiva.

Resposta

c_{m}=0{,}222\\ \mathrm{cal}/(g\,^\circ\mathrm{C})
\Delta S_{\text{água+metal}}=0{,}378\\ \mathrm{cal/K}á

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