Questão 13 Dado a \in \mathbb{Z}, considere o seguinte subconjunto S=\{n \in \mathbb{Z}: a \leq n\}. Prove que toda função f: S \rightarrow S monótona não-crescente (isto é, n \leq m \Longrightarrow f(n) \geq f(m) ) é constante a partir de um certo número natural.

Passo 1

O enunciado diz que temos um inteiro a e o conjunto
S = \{\,n\in\mathbb{Z}:a\le n\},
e uma função
f\colon S\to S
que é monótona não-crescente, isto é, para quaisquer n,m\in S,
n\le m\quad\Longrightarrow\quad f(n)\ge f(m).
Queremos provar que existe algum N\in\mathbb{Z} tal que
f(n)=\text{constante}\quad\text{para todo }n\ge N.
O conteúdo que usaremos é que toda sequência de inteiros que é não-crescente e limitada abaixo por um valor inteiro necessariamente se torna constante a partir de certo termo.

Passo 2

Definimos uma sequência indexada por k\in\mathbb{N} (onde \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}) via
s(k)=f(a+k).
Como a+k\le a+(k+1), pela monotonicidade não-crescente temos
s(k)=f(a+k)\ge f(a+k+1)=s(k+1).
Além disso, para todo k, s(k)\in S implica s(k)\ge a. Logo (s(k))_{k\ge0} é uma sequência de inteiros não-crescente e limitada abaixo por a.

Passo 3

Em \mathbb{Z}, toda sequência não-crescente e limitada abaixo atinge um valor mínimo e, a partir daí, não pode mais diminuir (pois não existem infinitos inteiros acima desse mínimo). Mais formalmente, seja
c=\min\{s(k):k\in\mathbb{N}\}.
Como o conjunto de valores \{s(k)\} é não-vazio e limitado abaixo em \mathbb{Z}, esse mínimo c existe. Seja k_0 um índice em que s(k_0)=c. Então, para todo k\ge k_0, temos
s(k)\le s(k_0)=c\quad\text{(por não-crescência)} \quad\text{e}\quad s(k)\ge c\quad\text{(por definição de \(c\))},ãêçã
logo s(k)=c para todo k\ge k_0.

Passo 4

Traduzindo de volta para f, definimos
N = a + k_0.
Então para todo n\ge N existe k=n-a\ge k_0 tal que
f(n)=f(a+k)=s(k)=c.
Portanto f é constante a partir de N.

Resposta

Tomando N=a+k_0 conforme acima, temos f(n)=c para todo n\ge N, ou seja, f é constante a partir de um certo número natural.

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