Questão 13 Dado
, considere o seguinte subconjunto
. Prove que toda função
monótona não-crescente (isto é,
) é constante a partir de um certo número natural.
Passo 1
O enunciado diz que temos um inteiro
e o conjunto
e uma função
que é monótona não-crescente, isto é, para quaisquer
,
Queremos provar que existe algum
tal que
O conteúdo que usaremos é que toda sequência de inteiros que é não-crescente e limitada abaixo por um valor inteiro necessariamente se torna constante a partir de certo termo.
Passo 2
Definimos uma sequência indexada por
(onde
) via
Como
, pela monotonicidade não-crescente temos
Além disso, para todo
,
implica
. Logo
é uma sequência de inteiros não-crescente e limitada abaixo por
.
Passo 3
Em
, toda sequência não-crescente e limitada abaixo atinge um valor mínimo e, a partir daí, não pode mais diminuir (pois não existem infinitos inteiros acima desse mínimo). Mais formalmente, seja
Como o conjunto de valores
é não-vazio e limitado abaixo em
, esse mínimo
existe. Seja
um índice em que
. Então, para todo
, temos
logo
para todo
.
Passo 4
Traduzindo de volta para
, definimos
Então para todo
existe
tal que
Portanto
é constante a partir de
.
Resposta
Tomando
conforme acima, temos
para todo
, ou seja,
é constante a partir de um certo número natural.