Questão 13) Determine o valor de \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} quando:
f(x)=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando a função dada é f(x)=x.
Informações que temos:
  • A função é f(x)=x.
  • Queremos a avaliação do quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} quando h tende a 0.
  • Esse limite, por definição, é a derivada de f em x (mas a explicação da definição ficará nos próximos passos).

Passo 2

Calcular f(x+h) usando a definição dada de f.
Como f(x)=x, substituir x por x+h
f(x+h)=x+h.
Explanação didática: aqui a ideia é simples — aplicar a função ao argumento x+h. Para funções polinomiais ou lineares como esta, isso significa apenas trocar x por x+h.

Passo 3

Formar o numerador do quociente de diferença:
f(x+h)-f(x) = (x+h) - x.
Agora simplificar a expressão:
(x+h)-x = h.
Observação importante: essa igualdade vale para qualquer h; ao formar o quociente, precisamos lembrar que não podemos dividir por h=0, por isso consideramos h\neq 0 no processo de simplificação do quociente.

Passo 4

Construir o quociente e simplificá-lo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{h}{h}.
Para h\neq 0 tem-se \dfrac{h}{h}=1. Portanto, para todo h diferente de zero o quociente é exatamente 1.
Didática extra: o quociente de diferença mede a razão de variação média de f ao mover x por um pequeno passo h. No caso de f(x)=x, essa razão de variação é sempre 1 independentemente de x ou do tamanho de h (desde que h\neq0) — isto é, a função cresce uma unidade vertical para cada unidade horizontal.

Passo 5

Tomar o limite quando h tende a zero.
Como o quociente é igual a 1 para todo h\neq 0, ao fazer h\to 0 o valor permanece 1. Logo
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 1.
Interpretação: isso diz que a derivada de f em qualquer ponto x é 1; geometricamente, a reta y=x tem inclinação 1.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se g(x)=2x+3, então g(x+h)-g(x) = 2h e \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=2, então \lim_{h\to0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=2. Ou seja, a derivada de uma função linear ax+b é a.
  • Para f(x)=x isso confirma que o coeficiente angular (inclinação) é 1, e portanto a derivada é 1.
Força aí — essa derivada é das mais simples e muito útil: sempre que ver f(x)=x, já pode escrever de cara que a derivada é 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados