Questão 13) Determine o valor de
quando:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
quando a função dada é
.
Informações que temos:
- A função é
. - Queremos a avaliação do quociente
quando tende a . - Esse limite, por definição, é a derivada de
em (mas a explicação da definição ficará nos próximos passos).
Passo 2
Calcular
usando a definição dada de
.
Como , substituir
por
dá
Como
Explanação didática: aqui a ideia é simples — aplicar a função ao argumento
. Para funções polinomiais ou lineares como esta, isso significa apenas trocar
por
.
Passo 3
Formar o numerador do quociente de diferença:
Agora simplificar a expressão:
Observação importante: essa igualdade vale para qualquer
; ao formar o quociente, precisamos lembrar que não podemos dividir por
, por isso consideramos
no processo de simplificação do quociente.
Passo 4
Construir o quociente e simplificá-lo:
Para
tem-se
. Portanto, para todo
diferente de zero o quociente é exatamente
.
Didática extra: o quociente de diferença mede a razão de variação média de
ao mover
por um pequeno passo
. No caso de
, essa razão de variação é sempre
independentemente de
ou do tamanho de
(desde que
) — isto é, a função cresce uma unidade vertical para cada unidade horizontal.
Passo 5
Tomar o limite quando
tende a zero.
Como o quociente é igual a para todo
, ao fazer
o valor permanece
. Logo
Como o quociente é igual a
Interpretação: isso diz que a derivada de
em qualquer ponto
é
; geometricamente, a reta
tem inclinação
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
, então e , então . Ou seja, a derivada de uma função linear é . - Para
isso confirma que o coeficiente angular (inclinação) é , e portanto a derivada é .
Força aí — essa derivada é das mais simples e muito útil: sempre que ver
, já pode escrever de cara que a derivada é
.