Questão 5) Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to+\infty} x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é o produto de x por \sqrt{x^{2}+1}-x.
  • Deve-se verificar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando a técnica do conjugado (uma manipulação algébrica clássica para eliminar diferenças envolvendo raízes). A ideia é multiplicar e dividir por \sqrt{x^{2}+1}+x, porque vale a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que transforma uma diferença de raízes num termo sem raiz. Aplicando ao nosso caso:
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr) = x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Agora desenvolvendo o numerador com a identidade:
x\cdot\frac{(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = x\cdot\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = x\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Portanto a expressão simplificada é
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

Para estudar o limite quando x\to+\infty é conveniente dividir numerador e denominador por x (note que para x>0 isso é permitido e preserva a expressão):
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{x/x}{\sqrt{x^{2}+1}/x + x/x} = \frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1}.
Agora usamos propriedades de limites e a continuidade da função raiz quadrada: quando x\to+\infty tem-se \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, portanto
\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1+0}=1.
Substituindo no denominador contínuo, o limite da expressão passa a ser
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 4

(Verificação alternativa — para aprender outra técnica) Outra forma de ver o mesmo resultado é usar uma expansão assintótica curta. Para x>0,
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}=x\Bigl(1+\tfrac{1}{2x^{2}}+o\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\Bigr) = x+\tfrac{1}{2x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Então
\sqrt{x^{2}+1}-x=\tfrac{1}{2x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),
e multiplicando por x obtemos
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)=\tfrac{1}{2}+o(1)\longrightarrow \tfrac{1}{2},
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Conclusão clara: o limite existe e vale \tfrac{1}{2}. Força aí — essa técnica do conjugado aparece muito em provas e é ótima para limites com raízes!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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