Questão 5) Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é o produto de
por . - Deve-se verificar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando a técnica do conjugado (uma manipulação algébrica clássica para eliminar diferenças envolvendo raízes). A ideia é multiplicar e dividir por
, porque vale a identidade
que transforma uma diferença de raízes num termo sem raiz. Aplicando ao nosso caso:
Agora desenvolvendo o numerador com a identidade:
Portanto a expressão simplificada é
Passo 3
Para estudar o limite quando
é conveniente dividir numerador e denominador por
(note que para
isso é permitido e preserva a expressão):
Agora usamos propriedades de limites e a continuidade da função raiz quadrada: quando
tem-se
, portanto
Substituindo no denominador contínuo, o limite da expressão passa a ser
Passo 4
(Verificação alternativa — para aprender outra técnica) Outra forma de ver o mesmo resultado é usar uma expansão assintótica curta. Para
,
Então
e multiplicando por
obtemos
confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Conclusão clara: o limite existe e vale
. Força aí — essa técnica do conjugado aparece muito em provas e é ótima para limites com raízes!