Questão 7) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}-2 x^{3}+x^{2}+3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\,-2x^{3}+x^{2}+3x.
Informações dadas: é um polinômio de grau 3 com termos -2x^{3}, x^{2} e 3x. A variável x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): em polinômios, quando |x| fica muito grande, o termo de maior grau domina o comportamento. Isso porque potências maiores crescem muito mais rápido que potências menores. Uma forma prática de explorar isso é fatorar a maior potência de x (aqui x^{3}) e observar o que sobra entre parênteses.

Passo 3

Fatorando x^{3} do polinômio:
-2x^{3}+x^{2}+3x = x^{3}\left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right).
Aqui cada termo foi escrito como x^{3} vezes algo: -2x^{3}=x^{3}(-2), x^{2}=x^{3}\cdot\frac{1}{x}, 3x=x^{3}\cdot\frac{3}{x^{2}}.

Passo 4

Analisando o parêntese quando x\to -\infty: os termos \frac{1}{x} e \frac{3}{x^{2}} tendem a 0, pois frações com denominador que vai ao infinito valem zero. Assim
\lim_{x\to -\infty}\left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right) = -2.

Passo 5

Agora combinamos isso com o comportamento de x^{3}. Quando x\to -\infty temos \lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty (potência ímpar preserva o sinal). Portanto, o produto tende a
\lim_{x\to -\infty} x^{3}\cdot\left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right) = (-\infty)\cdot(-2) = +\infty.
Em palavras: x^{3} é muito negativo para x grande negativo, e multiplica por -2 (valor negativo dentro do parêntese), resultando num valor muito positivo que cresce sem limite.

Passo 6

Regra geral curta para decorar: para um polinômio p(x)=a_{n}x^{n}+\dots com a_{n}\neq0,
  • se n é ímpar, o sinal de p(x) quando x\to -\infty é o oposto do sinal de a_{n} (porque x^{n}\to -\infty);
  • se n é par, p(x)\to +\infty quando |x|\to\infty se a_{n}>0, e -\infty se a_{n}<0.
    Aqui n=3 (ímpar) e a_{n}=-2 (negativo), daí o limite quando x\to -\infty é +\infty. Força aí nos estudos — tá indo bem!

Resposta

+\infty

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