Questão 2.14 Um tanque cilíndrico contém água a
numa altura de 50 mm . Dentro do tanque há outro menor, também cilíndrico, aberto na parte superior e que contém querosene à altura h. O peso específico do querosene é
do verificado para a água. Os manômetros B e C indicam as seguintes pressões, respectivamente:
;
. De posse destas informações, determinar:
a) A pressão indicada no manômetro
;
b) A altura h de querosene. Assumir que não há mistura do querosene com a água.
a) A pressão indicada no manômetro
b) A altura h de querosene. Assumir que não há mistura do querosene com a água.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da figura/enunciado):
- Altura da água no tanque:
(ou seja, ). - O interior do tanque tem uma zona de ar acima da superfície da água; o manômetro
está conectado a essa zona de ar e indica (é a pressão do ar acima da água). - Há um cilindro menor apoiado no fundo do tanque que contém querosene até uma altura
(medida a partir do fundo). - O peso específico (peso por volume) do querosene é
do peso específico da água, ou seja . - Os manômetros indicam:
-
, -
.
-
- Os pontos de leitura de
e estão no mesmo nível (no fundo), portanto corresponde à mesma cota vertical onde há ligação hidráulica às respectivas colunas de fluido. - O enunciado pede:
(a) determinar;
(b) determinar a alturado querosene. - Assumir que não há mistura entre querosene e água.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (aqui uma mini-aula):
- Lei da hidrostatística: a pressão num ponto dentro de um fluido em equilíbrio varia com a profundidade segundo a fórmula
onde:
-
é a pressão no ponto considerado; -
é a pressão na superfície de referência (na mesma coluna), por exemplo a pressão na superfície livre acima do fluido; -
é o peso específico do fluido ( , em ); -
é a diferença vertical (profundidade) entre a superfície de referência e o ponto (em metros). - Unidade prática: se
em e em , o produto dá pressão em Pascal ( ). - No nosso problema: para o fundo externo do tanque (manômetro
) a coluna acima é apenas água de altura , portanto
- Para o fundo interno ligado ao manômetro
a coluna acima pode ser composta por querosene (altura ) e possivelmente outro fluido acima; a equação exata depende de qual fluido está acima do querosene no interior do cilindro. Iremos escrever a equação adequada, calcular e verificar a hipótese usada (ou seja, verificar coerência entre alturas).
Passo 3
Valores numéricos para os pesos específicos (escolha prática):
- Peso específico da água:
. - Peso específico do querosene:
Passo 4
Obter
a partir da leitura de
.
- Usamos a relação da coluna de água:
- Isolando
:
- Converter
para Pascal para calcular:
- Calcular a queda de pressão pela coluna de água:
- Portanto
- Em kPa:
Passo 5
Equação para
e escolha da hipótese sobre a coluna interna:
- Se a superfície livre do querosene (no interior do cilindro) estiver exposta ao ar (ou seja, se a altura
do querosene for maior que a altura da água fora, a superfície do querosene “fica acima” da água externa e está em contato com o ar cuja pressão é ), então a pressão no fundo interno é apenas a pressão do ar mais a contribuição da coluna de querosene:
- Se, por outro lado, o topo do querosene ficasse abaixo da superfície da água externa, haveria uma coluna de água acima do querosene até a superfície livre e a expressão seria diferente (incluiria também a coluna de água acima). Portanto calculamos assumindo a fórmula mais simples acima e depois verificamos se a solução torna a hipótese consistente (i.e., se o
calculado é de fato maior que ou não).
Passo 6
Calcular
a partir de
.
- Escrever:
- Converter
para Pascal: - Substituir valores:
diferença de pressão
- Em milímetros:
Passo 7
Verificação da hipótese:
- A hipótese usada foi que a superfície do querosene está exposta ao ar (ou seja,
maior que a altura da água externa ). - Calculamos
, que é maior que . Logo a hipótese é consistente: o topo do querosene fica acima do nível da água externa e está em contato com o ar com pressão . Portanto as fórmulas utilizadas estão corretas.