Questão 2.14 Um tanque cilíndrico contém água a 20^{\circ} \mathrm{C} numa altura de 50 mm . Dentro do tanque há outro menor, também cilíndrico, aberto na parte superior e que contém querosene à altura h. O peso específico do querosene é 80 \% do verificado para a água. Os manômetros B e C indicam as seguintes pressões, respectivamente: \mathrm{p}_{\mathrm{B}}=13,80 \mathrm{kPa}; \mathrm{p}_{\mathrm{c}}= 13,82 \mathrm{kPa}. De posse destas informações, determinar:
a) A pressão indicada no manômetro \mathrm{A}\left(\mathrm{p}_{\mathrm{A}}\right);
b) A altura h de querosene. Assumir que não há mistura do querosene com a água.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da figura/enunciado):
  • Altura da água no tanque: 50\\ \text{mm} (ou seja, 0,05\\ \text{m}).
  • O interior do tanque tem uma zona de ar acima da superfície da água; o manômetro A está conectado a essa zona de ar e indica p_A (é a pressão do ar acima da água).
  • Há um cilindro menor apoiado no fundo do tanque que contém querosene até uma altura h (medida a partir do fundo).
  • O peso específico (peso por volume) do querosene é 80\% do peso específico da água, ou seja \gamma_{q}=0{,}8\,\gamma_{w}.
  • Os manômetros indicam:
    • p_B = 13{,}80\\ \text{kPa},
    • p_C = 13{,}82\\ \text{kPa}.
  • Os pontos de leitura de p_B e p_C estão no mesmo nível (no fundo), portanto corresponde à mesma cota vertical onde há ligação hidráulica às respectivas colunas de fluido.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar p_A;
    (b) determinar a altura h do querosene.
  • Assumir que não há mistura entre querosene e água.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aqui uma mini-aula):
  • Lei da hidrostatística: a pressão num ponto dentro de um fluido em equilíbrio varia com a profundidade segundo a fórmula
p = p_0 + \gamma\,\Delta z,
onde:
  • p é a pressão no ponto considerado;
  • p_0 é a pressão na superfície de referência (na mesma coluna), por exemplo a pressão na superfície livre acima do fluido;
  • \gamma é o peso específico do fluido ( \gamma=\rho g, em \mathrm{N/m^3});
  • \Delta z é a diferença vertical (profundidade) entre a superfície de referência e o ponto (em metros).
  • Unidade prática: se \gamma em \mathrm{N/m^3} e \Delta z em \mathrm{m}, o produto \gamma\Delta z dá pressão em Pascal ( \mathrm{Pa}).
  • No nosso problema: para o fundo externo do tanque (manômetro C) a coluna acima é apenas água de altura 0,05\\ \text{m}, portanto
p_C = p_A + \gamma_{w}\cdot 0{,}05.
  • Para o fundo interno ligado ao manômetro B a coluna acima pode ser composta por querosene (altura h) e possivelmente outro fluido acima; a equação exata depende de qual fluido está acima do querosene no interior do cilindro. Iremos escrever a equação adequada, calcular h e verificar a hipótese usada (ou seja, verificar coerência entre alturas).

Passo 3

Valores numéricos para os pesos específicos (escolha prática):
  • Peso específico da água: \gamma_{w} = \rho_w g \approx 1000\cdot 9{,}81 = 9810\\ \mathrm{N/m^3}.
  • Peso específico do querosene: \gamma_{q} = 0{,}8\,\gamma_{w} = 0{,}8\cdot 9810 = 7848\\ \mathrm{N/m^3}.

Passo 4

Obter p_A a partir da leitura de p_C.
  • Usamos a relação da coluna de água:
p_C = p_A + \gamma_{w}\cdot 0{,}05.
  • Isolando p_A:
p_A = p_C - \gamma_{w}\cdot 0{,}05.
  • Converter p_C para Pascal para calcular:
    \,p_C = 13{,}82\\ \text{kPa} = 13{,}82\times 10^{3}\\ \text{Pa} = 13820\\ \text{Pa}.
  • Calcular a queda de pressão pela coluna de água:
    \gamma_w\cdot 0{,}05 = 9810\cdot 0{,}05 = 490{,}5\\ \text{Pa}.
  • Portanto
p_A = 13820 - 490{,}5 = 13329{,}5\\ \text{Pa}.
  • Em kPa:
p_A \approx 13{,}33\\ \text{kPa}.

Passo 5

Equação para p_B e escolha da hipótese sobre a coluna interna:
  • Se a superfície livre do querosene (no interior do cilindro) estiver exposta ao ar (ou seja, se a altura h do querosene for maior que a altura da água fora, a superfície do querosene “fica acima” da água externa e está em contato com o ar cuja pressão é p_A), então a pressão no fundo interno é apenas a pressão do ar mais a contribuição da coluna de querosene:
p_B = p_A + \gamma_q\,h.
  • Se, por outro lado, o topo do querosene ficasse abaixo da superfície da água externa, haveria uma coluna de água acima do querosene até a superfície livre e a expressão seria diferente (incluiria também a coluna de água acima). Portanto calculamos assumindo a fórmula mais simples acima e depois verificamos se a solução torna a hipótese consistente (i.e., se o h calculado é de fato maior que 0{,}05\\ \text{m} ou não).

Passo 6

Calcular h a partir de p_B = p_A + \gamma_q h.
  • Escrever:
h = \frac{p_B - p_A}{\gamma_q}.
  • Converter p_B para Pascal: p_B = 13{,}80\\ \text{kPa} = 13800\\ \text{Pa}.
  • Substituir valores:
    diferença de pressão p_B-p_A = 13800 - 13329{,}5 = 470{,}5\\ \text{Pa}.
h = \frac{470{,}5}{7848}\\ \text{m} \approx 0{,}05995\\ \text{m}.
  • Em milímetros:
h \approx 59{,}95\\ \text{mm} \approx 60{,}0\\ \text{mm}.

Passo 7

Verificação da hipótese:
  • A hipótese usada foi que a superfície do querosene está exposta ao ar (ou seja, h maior que a altura da água externa 0{,}05\\ \text{m}).
  • Calculamos h \approx 0{,}05995\\ \text{m}, que é maior que 0{,}05\\ \text{m}. Logo a hipótese é consistente: o topo do querosene fica acima do nível da água externa e está em contato com o ar com pressão p_A. Portanto as fórmulas utilizadas estão corretas.

Resposta

p_A = 13{,}33\\ \text{kPa}
h = 60{,}0\\ \text{mm}

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