QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Um carro se move ao longo de um pista circular de 150 m de raio de modo que sua velocidade varia no tempo de acordo \operatorname{com} v=3\left(t+t^{2}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s} no intervalo de tempo de 0<\mathrm{t}<4 \mathrm{~s}. Determine o módulo de sua aceleração quanto t=3 \mathrm{~s}. Que distância ela percorreu até esse instante? Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado e dados que temos (clarinho, com tudo que importa):\n
  • A pista é circular com raio \;R=150\\ \mathrm{m}.\n
  • A velocidade escalar varia no tempo segundo \;v(t)=3\bigl(t+t^{2}\bigr)\\ \mathrm{m/s} para \;0<t<4\\ \mathrm{s}.\n
  • Perguntas que o enunciado faz:\n
    1. Determinar o módulo da aceleração do carro quando \;t=3\\ \mathrm{s}.\n
    2. Determinar a distância percorrida até esse instante \;t=3\\ \mathrm{s}.\n
      Observação: assumimos que a posição inicial (distância percorrida em \;t=0) é zero, pois o enunciado não diz outra coisa.

Passo 2

Entendendo que tipo de aceleração aparece: quando um móvel se desloca numa trajetória curva e sua velocidade escalar muda, a aceleração total tem duas partes que se somam vetorialmente:\n
  • A componente tangencial \;a_{t}, que altera o módulo da velocidade (aumenta ou diminui a rapidez). Matemática simples: \;a_{t}=\dfrac{dv}{dt}. Aqui \;v é o módulo da velocidade e t o tempo.\n
  • A componente normal (ou centrípeta) \;a_{n}, que é responsável por desviar a direção do vetor velocidade quando a trajetória é curva. Para movimento numa circunferência de raio \;R com rapidez \;v, vale\n a_{n}=\frac{v^{2}}{R}.\n
A aceleração total tem módulo dado por (teorema de Pitágoras, porque a_{t} e a_{n} são perpendiculares):\n a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}.

Passo 3

Calcular a componente tangencial \;a_{t}=\dfrac{dv}{dt}. Primeiro escrevemos \;v(t) de forma expandida:\n v(t)=3\bigl(t+t^{2}\bigr)=3t+3t^{2}.\n
Derivando termo a termo (regra básica: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{\,n-1}):\n \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(3t)+\frac{d}{dt}(3t^{2})=3+3\cdot 2t=3+6t.

Passo 4

Avaliar \;a_{t} em \;t=3\\ \mathrm{s}:\n a_{t}(3)=3+6\cdot 3=3+18=21\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Precisamos também de \;v(3) para calcular \;a_{n}. Calculemos \;v(3):\n v(3)=3\bigl(3+3^{2}\bigr)=3\bigl(3+9\bigr)=3\cdot 12=36\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a componente normal em \;t=3 usando \;a_{n}=v^{2}/R:\n a_{n}(3)=\frac{36^{2}}{150}=\frac{1296}{150}=8{,}64\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Agora a magnitude da aceleração total em \;t=3 é\n a(3)=\sqrt{a_{t}(3)^{2}+a_{n}(3)^{2}}=\sqrt{21^{2}+8{,}64^{2}}.\n
Calculemos os quadrados e a raiz:\n 21^{2}=441,\qquad 8{,}64^{2}=74{,}6496,\n 441+74{,}6496=515{,}6496,\n a(3)=\sqrt{515{,}6496}\approx 22{,}71\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
(Arredondei a resposta para duas casas decimais; se quiser com mais precisão, mantenha mais dígitos.)

Passo 8

Agora a distância percorrida até \;t=3\\ \mathrm{s}. A distância (ou deslocamento escalar ao longo da trajetória) é a integral do módulo da velocidade:\n s(t)=\int_{0}^{t} v(t')\,dt'.\n
Tomando \;t=3, e lembrando que \;v(t)=3t+3t^{2}, integramos termo a termo:\n s(3)=\int_{0}^{3}\bigl(3t+3t^{2}\bigr)\,dt =\int_{0}^{3}3t\,dt+\int_{0}^{3}3t^{2}\,dt.\n
Calculando as primitivas: \int 3t\,dt=\tfrac{3}{2}t^{2} e \int 3t^{2}\,dt=t^{3}. Portanto\n s(t)=\frac{3}{2}t^{2}+t^{3},\n
e avaliando em \;t=3:\n s(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^{2}+3^{3}=\frac{3}{2}\cdot 9+27=13{,}5+27=40{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Cheque de plausibilidade (para ficar confiante): a velocidade cresce de 0 a 36\\ \mathrm{m/s} em 3\\ \mathrm{s}. A velocidade média é \dfrac{s(3)}{3}=13{,}5\\ \mathrm{m/s}, que é razoável entre 0 e 36. A componente tangencial domina a aceleração (21 contra 8{,}64), então a aceleração total ser \sim 22{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}} faz sentido.\n\nForça final: você já tem os passos que precisa decorar para a prova: derivar para achar a_{t}, usar v^{2}/R para a_{n} e integrar v para achar a distância. Vai dar certo — respira, revisa esses passos e repete alguns exercícios parecidos!

Resposta

\;a(3)=22{,}71\\ \mathrm{m/s^{2}}\n
\;s(3)=40{,}5\\ \mathrm{m}

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