QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Um carro se move ao longo de um pista circular de 150 m de raio de modo que sua velocidade varia no tempo de acordo
no intervalo de tempo de
. Determine o módulo de sua aceleração quanto
. Que distância ela percorreu até esse instante? Justifique sua resposta.
Um carro se move ao longo de um pista circular de 150 m de raio de modo que sua velocidade varia no tempo de acordo
Passo 1
Enunciado e dados que temos (clarinho, com tudo que importa):\n
- A pista é circular com raio
.\n - A velocidade escalar varia no tempo segundo
para .\n - Perguntas que o enunciado faz:\n
- Determinar o módulo da aceleração do carro quando
.\n - Determinar a distância percorrida até esse instante
.\n
Observação: assumimos que a posição inicial (distância percorrida em) é zero, pois o enunciado não diz outra coisa.
- Determinar o módulo da aceleração do carro quando
Passo 2
Entendendo que tipo de aceleração aparece: quando um móvel se desloca numa trajetória curva e sua velocidade escalar muda, a aceleração total tem duas partes que se somam vetorialmente:\n
- A componente tangencial
, que altera o módulo da velocidade (aumenta ou diminui a rapidez). Matemática simples: . Aqui é o módulo da velocidade e o tempo.\n - A componente normal (ou centrípeta)
, que é responsável por desviar a direção do vetor velocidade quando a trajetória é curva. Para movimento numa circunferência de raio com rapidez , vale\n \n
A aceleração total tem módulo dado por (teorema de Pitágoras, porque
e
são perpendiculares):\n
Passo 3
Calcular a componente tangencial
. Primeiro escrevemos
de forma expandida:\n
\n
Derivando termo a termo (regra básica:
):\n
Passo 4
Avaliar
em
:\n
Passo 5
Precisamos também de
para calcular
. Calculemos
:\n
Passo 6
Calcular a componente normal em
usando
:\n
Passo 7
Agora a magnitude da aceleração total em
é\n
\n
Calculemos os quadrados e a raiz:\n
\n
\n
\n
(Arredondei a resposta para duas casas decimais; se quiser com mais precisão, mantenha mais dígitos.)
Passo 8
Agora a distância percorrida até
. A distância (ou deslocamento escalar ao longo da trajetória) é a integral do módulo da velocidade:\n
\n
Tomando
, e lembrando que
, integramos termo a termo:\n
\n
Calculando as primitivas:
e
. Portanto\n
\n
e avaliando em
:\n
Passo 9
Cheque de plausibilidade (para ficar confiante): a velocidade cresce de
a
em
. A velocidade média é
, que é razoável entre
e
. A componente tangencial domina a aceleração (21 contra 8{,}64), então a aceleração total ser
faz sentido.\n\nForça final: você já tem os passos que precisa decorar para a prova: derivar para achar
, usar
para
e integrar
para achar a distância. Vai dar certo — respira, revisa esses passos e repete alguns exercícios parecidos!