QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Um veículo se move ao longo de um pista circular de 50 m de raio. Considerando que ele parte do repouso e acelera a uma taxa constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine o módulo de sua aceleração após 3 s . Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o módulo da aceleração de um veículo que se move sobre uma pista circular de raio 50\\ \mathrm{m}, parte do repouso e tem aceleração tangencial constante de 3\\ \mathrm{m/s}^2. A pergunta é: qual é o valor do módulo da aceleração após 3\\ \mathrm{s}?\n
Dados fornecidos:
r = 50\\ \mathrm{m},\qquad a_{\text{tang}} = 3\\ \mathrm{m/s}^2,\qquad v(0)=0,\qquad t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo como a aceleração se comporta num movimento circular: a aceleração total de um ponto que se move ao longo de uma curva tem duas componentes importantes quando a trajetória é circular:
  • a componente tangencial \,a_{\text{tang}}\,, que altera o módulo da velocidade (ou seja, a rapidez). Essa componente é paralela à direção instantânea do movimento.
  • a componente normal (ou centrípeta) \,a_{\text{n}}\,, que aponta para o centro da curva e é responsável por mudar a direção da velocidade. Seu módulo é dado por \,a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}\,, onde v é a rapidez instantânea e r é o raio da curva.\n
    Essas duas componentes são perpendiculares entre si (tangencial ⟂ normal), então o módulo da aceleração total é obtido pela soma vetorial perpendicular:
a = \sqrt{a_{\text{tang}}^2 + a_{\text{n}}^2}.

Passo 3

Primeiro encontramos a velocidade após 3\\ \mathrm{s}. Como a aceleração tangencial é constante e o veículo parte do repouso, usamos a fórmula da cinemática retilínea para rapidez:
v = v_0 + a_{\text{tang}}\,t.
Como v_0=0, temos
v = 0 + 3\cdot 3 = 9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora calculamos a componente normal (centrípeta) usando \,a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}\,. Substituindo v=9\\ \mathrm{m/s} e r=50\\ \mathrm{m}:
a_{\text{n}} = \dfrac{9^2}{50} = \dfrac{81}{50} = 1,62\\ \mathrm{m/s}^2.

Passo 5

Com as duas componentes conhecidas ( a_{\text{tang}}=3\\ \mathrm{m/s}^2 e a_{\text{n}}=1,62\\ \mathrm{m/s}^2), calculamos o módulo da aceleração total pela razão pitagórica (porque são perpendiculares):
a = \sqrt{a_{\text{tang}}^2 + a_{\text{n}}^2} = \sqrt{3^2 + (1,62)^2}.
Vamos detalhar as contas:
3^2 = 9,\qquad (1,62)^2 = 2,6244,
a = \sqrt{9 + 2,6244} = \sqrt{11,6244} \approx 3,409\\ \mathrm{m/s}^2.
Arredondando com duas casas decimais (próximo ao que se espera em provas): a \approx 3,41\\ \mathrm{m/s}^2.

Passo 6

Interpretação final e justificativa curta: a aceleração tangencial permanece 3\\ \mathrm{m/s}^2 porque foi dada como constante; ao mesmo tempo aparece uma aceleração centrípeta v^2/r porque a velocidade cresce e a trajetória é curva. Como as duas são ortogonais, usamos a soma quadrática para obter o módulo total. Isso é o que justificamos matematicamente e computacionalmente nos passos anteriores. Força extra de ânimo: mandou bem ao trazer a questão — é exatamente esse tipo de raciocínio que cai em prova!

Resposta

3,41\\ \mathrm{m/s}^2

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