QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Uma partícula se move com velocidade \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)=\left[(t) \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+\left(5-t^{2}\right) \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}\right] \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine a menor velocidade (em módulo) alcançada pela partícula e escreva o resultado com 3 casas decimais. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula como
\overrightarrow{v}(t)=\bigl[t\,\overrightarrow{\imath}+\bigl(5-t^{2}\bigr)\,\overrightarrow{\jmath}\bigr]\\ \text{m/s}
Pergunta: determinar a menor velocidade (módulo da velocidade, isto é, a menor rapidez) alcançada pela partícula e escrever o resultado com 3 casas decimais. Informações relevantes que temos: as componentes da velocidade são v_x(t)=t e v_y(t)=5-t^{2}. Não há restrição sobre t (assume-se t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Definição e ideia-chave: a rapidez é o módulo do vetor velocidade. Para um vetor em duas componentes v_x e v_y temos
\text{rapidez } s(t)=\lVert \overrightarrow{v}(t)\rVert=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}.
Aqui então
s(t)=\sqrt{t^{2}+\bigl(5-t^{2}\bigr)^{2}}.
Explicação didática: a fórmula vem do teorema de Pitágoras — a norma de (v_x,v_y) é \sqrt{v_x^2+v_y^2}. Quero encontrar o menor valor de s(t) quando t varia em todos os reais.

Passo 3

Truque matemático para simplificar cálculos: é mais fácil minimizar o quadrado da rapidez do que a rapidez com raiz. Como a raiz quadrada é uma função estritamente crescente para argumentos não negativos, o t que minimiza s(t) também minimiza s(t)^2. Definimos
f(t)=s(t)^2=t^{2}+\bigl(5-t^{2}\bigr)^{2}.
Minimizaremos f(t) (função polinomial) e depois tiraremos raiz para obter a rapidez mínima.

Passo 4

Calculemos e simplifiquemos f(t). Primeiro expandimos:
\bigl(5-t^{2}\bigr)^{2}=25-10t^{2}+t^{4}.
Somando com t^{2} obtemos
f(t)=t^{2}+25-10t^{2}+t^{4}=t^{4}-9t^{2}+25.
Portanto f(t)=t^{4}-9t^{2}+25. Esta é uma função polinomial suave (derivável infinitas vezes), então podemos usar derivadas para achar extremos.

Passo 5

Calculamos a derivada de f e achamos os pontos críticos:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}-9t^{2}+25\bigr)=4t^{3}-18t.
Colocando em fator comum:
f'(t)=2t\bigl(2t^{2}-9\bigr).
Igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
2t\bigl(2t^{2}-9\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0 \quad\text{ou}\quad 2t^{2}-9=0.
Da segunda equação obtemos
t^{2}=\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Classificação dos pontos críticos (teste da segunda derivada). Calculamos
f''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4t^{3}-18t\bigr)=12t^{2}-18.
Avaliações:
  • Em t=0: f''(0)=12\cdot 0^{2}-18=-18<0. Portanto t=0 é ponto de máximo local de f (logo máximo local de s^{2}, ou seja, ponto de rapidez maior localmente).
  • Em t=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}: como t^{2}=\frac{9}{2},
f''\!\left(\pm\frac{3}{\sqrt{2}}\right)=12\cdot\frac{9}{2}-18=54-18=36>0,
logo esses pontos são mínimos locais de f. Como f(t)\to +\infty quando |t|\to\infty (termo t^{4} domina), esses mínimos locais são, na verdade, mínimos globais.

Passo 7

Calculemos o valor mínimo de f em t^{2}=\frac{9}{2}. Substituindo em f(t)=t^{4}-9t^{2}+25:
t^{2}=\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad t^{4}=\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}.
Então
f_{\min}=\frac{81}{4}-9\cdot\frac{9}{2}+25=\frac{81}{4}-\frac{81}{2}+25.
Colocando sobre o mesmo denominador 4:
f_{\min}=\frac{81-162+100}{4}=\frac{19}{4}.
Portanto a rapidez mínima é
s_{\min}=\sqrt{f_{\min}}=\sqrt{\frac{19}{4}}=\frac{\sqrt{19}}{2}.
Agora o valor numérico aproximado: \sqrt{19}\approx 4,358898943, então
s_{\min}\approx\frac{4,358898943}{2}=2,179449472\ldots
Arredondando para 3 casas decimais obtemos 2,179\\ \text{m/s}. Observação: os dois instantes t=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2} dão a mesma rapidez mínima; portanto a menor rapidez alcançada é essa e ocorre em dois instantes simétricos.

Passo 8

Resumo da justificação: transformamos o problema de minimizar s(t) em minimizar f(t)=s(t)^2 (equivalente e mais simples). Encontramos pontos críticos resolvendo f'(t)=0, usamos f'' para classificar e verificamos comportamento assintótico para garantir que os mínimos locais são globais. Concluímos que o mínimo global de s(t) é \dfrac{\sqrt{19}}{2}, numericamente 2,179\\ \text{m/s}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{19}}{2}\\ \text{m/s}\approx 2,179\\ \text{m/s}

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