QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Uma partícula se move com velocidade
. Determine a menor velocidade (em módulo) alcançada pela partícula e escreva o resultado com 3 casas decimais. Justifique sua resposta.
Uma partícula se move com velocidade
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula como
Pergunta: determinar a menor velocidade (módulo da velocidade, isto é, a menor rapidez) alcançada pela partícula e escrever o resultado com 3 casas decimais. Informações relevantes que temos: as componentes da velocidade são
e
. Não há restrição sobre
(assume-se
).
Passo 2
Definição e ideia-chave: a rapidez é o módulo do vetor velocidade. Para um vetor em duas componentes
e
temos
Aqui então
Explicação didática: a fórmula vem do teorema de Pitágoras — a norma de
é
. Quero encontrar o menor valor de
quando
varia em todos os reais.
Passo 3
Truque matemático para simplificar cálculos: é mais fácil minimizar o quadrado da rapidez do que a rapidez com raiz. Como a raiz quadrada é uma função estritamente crescente para argumentos não negativos, o
que minimiza
também minimiza
. Definimos
Minimizaremos
(função polinomial) e depois tiraremos raiz para obter a rapidez mínima.
Passo 4
Calculemos e simplifiquemos
. Primeiro expandimos:
Somando com
obtemos
Portanto
. Esta é uma função polinomial suave (derivável infinitas vezes), então podemos usar derivadas para achar extremos.
Passo 5
Calculamos a derivada de
e achamos os pontos críticos:
Colocando em fator comum:
Igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
Da segunda equação obtemos
Passo 6
Classificação dos pontos críticos (teste da segunda derivada). Calculamos
Avaliações:
- Em
: . Portanto é ponto de máximo local de (logo máximo local de , ou seja, ponto de rapidez maior localmente). - Em
: como ,
logo esses pontos são mínimos locais de
. Como
quando
(termo
domina), esses mínimos locais são, na verdade, mínimos globais.
Passo 7
Calculemos o valor mínimo de
em
. Substituindo em
:
Então
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Portanto a rapidez mínima é
Agora o valor numérico aproximado:
, então
Arredondando para 3 casas decimais obtemos
. Observação: os dois instantes
dão a mesma rapidez mínima; portanto a menor rapidez alcançada é essa e ocorre em dois instantes simétricos.
Passo 8
Resumo da justificação: transformamos o problema de minimizar
em minimizar
(equivalente e mais simples). Encontramos pontos críticos resolvendo
, usamos
para classificar e verificamos comportamento assintótico para garantir que os mínimos locais são globais. Concluímos que o mínimo global de
é
, numericamente
.