QUESTÃO 16: (Mecânica dos Sólidos)

Considere um cabeçote acoplado a um cilindro sob pressão através de seis parafusos de aço. Os parafusos são montados de tal forma que recebem uma força axial máxima total de 9000 Kgf . Calcule a deformação máxima nos parafusos considerando que cada parafuso possua um diâmetro de 18 mm . Dado: módulo de Elasticidade do aço: 2,1.10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Adote demais dados que julgar necessários. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá: força axial total nos seis parafusos =9000\\ \mathrm{kgf}; número de parafusos =6; diâmetro de cada parafuso =18\\ \mathrm{mm}; módulo de elasticidade do aço E=2{,}1\cdot 10^{11}\\ \mathrm{N/m^2}. O que se pede: a deformação máxima nos parafusos. Vou entender “deformação” como a deformação axial (tensão relativa, \varepsilon), que é a quantidade adimensional \Delta L / L. Assumo que a carga é distribuída igualmente entre os seis parafusos (cada parafuso recebe a mesma força axial) e que o carregamento é puramente axial e dentro do regime elástico (Hooke). Se for preciso a elongação absoluta \Delta L, preciso de um comprimento efetivo do parafuso sob tração; como o enunciado não dá, vou adotar um comprimento típico e justificá-lo mais adiante.

Passo 2

Converto a força total de 9000\\ \mathrm{kgf} para Newtons. Uso 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}.
F_{\text{total}} = 9000\\ \mathrm{kgf}\times 9{,}80665\\ \mathrm{N/kgf}=88259{,}85\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Força em cada parafuso (assumindo distribuição igual entre os seis):
F_{\text{parafuso}}=\frac{F_{\text{total}}}{6}=\frac{88259{,}85}{6}=14709{,}975\\ \mathrm{N}\approx 14710\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Área da seção transversal de um parafuso (seção circular): A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Com d=18\\ \mathrm{mm}=0{,}018\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}018)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}000081=0{,}000254469\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Aqui expliquei: d^{2} é o diâmetro ao quadrado e o fator \pi/4 transforma em área de círculo.

Passo 5

Tensão axial em cada parafuso: \sigma=\dfrac{F}{A}. Substituindo os valores:
\sigma=\frac{14709{,}975}{0{,}000254469}=57\,788\,288\\ \mathrm{Pa}\approx 57{,}8\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: essa é a tensão normal (axial) média no corpo do parafuso causada pela força.

Passo 6

Lei de Hooke (relação tensão-deformação no regime elástico): \sigma = E\,\varepsilon. Onde \sigma é a tensão (Pa), E é o módulo de elasticidade (Pa) e \varepsilon é a deformação (adimensional). Logo
\varepsilon=\frac{\sigma}{E}.
Substituindo \sigma=57{,}788{,}288\\ \mathrm{Pa} e E=2{,}1\cdot 10^{11}\\ \mathrm{Pa}:
\varepsilon=\frac{57\,788\,288}{2{,}1\cdot 10^{11}}=2{,}7518\cdot 10^{-4}\approx 2{,}75\cdot 10^{-4}.
Em percentual, \varepsilon\approx 0{,}0275\%. Comentário didático: a deformação é pequena (da ordem de 10^{-4}), típico de componentes metálicos sob tensões moderadas.

Passo 7

Se você quiser a elongação absoluta \Delta L (em metros) use \Delta L=\varepsilon L, onde L é o comprimento efetivo sob tração. O enunciado não dá L, então adoto um valor representativo para um parafuso numa junção cabeçote-cilindro: L=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m} (justificativa: comprimento cabeça-porca ou comprimento de aperto típico em montagens mecânicas; se o seu parafuso for mais curto/mais longo, basta multiplicar por \varepsilon). Calculando:
\Delta L=\varepsilon L=(2{,}7518\cdot 10^{-4})\times 0{,}05=1{,}3759\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m}=13{,}76\\ \mu\mathrm{m}.
Observação: se L=30\\ \mathrm{mm} (outra escolha possível), \Delta L=(2{,}7518\cdot 10^{-4})\times 0{,}03=8{,}2554\\ \mu\mathrm{m}. Ou seja, a elongação absoluta é da ordem de poucos micrômetros.

Passo 8

Resumo das suposições e verificação rápida: supus distribuição igual da carga e carregamento axial puro; a tensão calculada \approx 57{,}8\\ \mathrm{MPa} é bem abaixo do limite de escoamento típico do aço (centenas de MPa), então a hipótese elástica é razoável. Se na montagem houveru pré-tensão dos parafusos, efeitos de atrito, flexão ou carga excêntrica, a distribuição real muda — mas para a estimativa elástica axial esta solução é a correta e simples de aplicar na prova.

Resposta

\varepsilon \approx 2{,}75\cdot 10^{-4} (deformação axial, adimensional).
\Delta L \approx 1{,}38\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m}=13{,}8\\ \mu\mathrm{m} (elongação para L=50\\ \mathrm{mm}).

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