QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Duas partículas
e
se movimentam em linha reta. A velocidade de
é
e a velocidade de
é
. Considerando que a partícula
está 1 m à frente de
no instante inicial (
), determine quanto tempo levará para que
alcance
. Justifique sua resposta.
Duas partículas
Passo 1
O enunciado dá as velocidades em função do tempo e a separação inicial entre as partículas. As informações relevantes são:
no instante inicial
a partícula
está
metro à frente de
. A pergunta é: quanto tempo leva para
alcançar
? (ou seja, encontrar
tal que as posições de
e
sejam iguais).
Passo 2
Conceito-chave usado: velocidade é a taxa de variação da posição. Isso significa que a posição
é uma primitiva (integral) da velocidade
. Em termos matemáticos:
onde
é a constante de integração que fixamos usando a condição inicial (posição conhecida em
). Exemplo simples: se
constante, então
.
Passo 3
Vamos encontrar a posição de
. Tomamos a origem para a posição de
em
, isto é
(isso é uma escolha conveniente; a diferença de posições é o que importa). Integrando
:
Impondo
obtemos
. Portanto
Passo 4
Agora a posição de
. Como
está
m à frente de
em
, temos
. Integramos
:
Impondo
obtemos
. Assim
Passo 5
Para
alcançar
precisamos de
. Igualando as expressões:
Organizando os termos para obter uma equação polinomial:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas raízes:
e
. Como
, temos
(tempo negativo não faz sentido fisicamente aqui), então descartamos
. Portanto o instante físico em que
alcança
é
Passo 7
Intuição física rápida (chega para a prova): a velocidade relativa é
Para
temos
(ou seja,
fica para trás), para
(a partir daí
começa a aproximar-se de
). A solução encontrada acontece depois de
, como esperado. Isso confirma que a raiz positiva é a resposta coerente.