QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Duas partículas A e B se movimentam em linha reta. A velocidade de A é v_{A}(t)=(1+t) \mathrm{m} / \mathrm{s} e a velocidade de B é v_{B}(t)=(4-t) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Considerando que a partícula B está 1 m à frente de A no instante inicial ( t=0 ), determine quanto tempo levará para que A alcance B. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as velocidades em função do tempo e a separação inicial entre as partículas. As informações relevantes são:
v_A(t) = (1+t)\\ \mathrm{m/s},
v_B(t) = (4-t)\\ \mathrm{m/s},
no instante inicial t=0 a partícula B está 1 metro à frente de A. A pergunta é: quanto tempo leva para A alcançar B? (ou seja, encontrar t>0 tal que as posições de A e B sejam iguais).

Passo 2

Conceito-chave usado: velocidade é a taxa de variação da posição. Isso significa que a posição x(t) é uma primitiva (integral) da velocidade v(t). Em termos matemáticos:
\frac{dx}{dt}=v(t)\quad\Longrightarrow\quad x(t)=\int v(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração que fixamos usando a condição inicial (posição conhecida em t=0). Exemplo simples: se v(t)=v_0 constante, então x(t)=v_0 t + x(0).

Passo 3

Vamos encontrar a posição de A. Tomamos a origem para a posição de A em t=0, isto é x_A(0)=0 (isso é uma escolha conveniente; a diferença de posições é o que importa). Integrando v_A(t):
x_A(t)=\int (1+t)\,dt = t + \frac{t^2}{2} + C_A.
Impondo x_A(0)=0 obtemos C_A=0. Portanto
x_A(t)=t+\frac{t^2}{2}.

Passo 4

Agora a posição de B. Como B está 1 m à frente de A em t=0, temos x_B(0)=1. Integramos v_B(t):
x_B(t)=\int (4-t)\,dt = 4t - \frac{t^2}{2} + C_B.
Impondo x_B(0)=1 obtemos C_B=1. Assim
x_B(t)=1+4t-\frac{t^2}{2}.

Passo 5

Para A alcançar B precisamos de x_A(t)=x_B(t). Igualando as expressões:
t+\frac{t^2}{2}=1+4t-\frac{t^2}{2}.
Organizando os termos para obter uma equação polinomial:
\frac{t^2}{2}+\frac{t^2}{2}+t-4t-1=0
t^2-3t-1=0.

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática t^2-3t-1=0 usando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
Isso dá duas raízes: \displaystyle t_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2} e \displaystyle t_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}. Como \sqrt{13}\approx3{,}606, temos t_2<0 (tempo negativo não faz sentido fisicamente aqui), então descartamos t_2. Portanto o instante físico em que A alcança B é
t=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ \text{s}\approx 3{,}303\\ \text{s}.

Passo 7

Intuição física rápida (chega para a prova): a velocidade relativa é
v_{\rm rel}(t)=v_A(t)-v_B(t)=(1+t)-(4-t)=2t-3.
Para t<1{,}5 temos v_{\rm rel}<0 (ou seja, A fica para trás), para t>1{,}5 v_{\rm rel}>0 (a partir daí A começa a aproximar-se de B). A solução encontrada acontece depois de t=1{,}5, como esperado. Isso confirma que a raiz positiva é a resposta coerente.

Resposta

\displaystyle t=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ \text{s}

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