QUESTÃO 14: (Mecânica Geral)
Um bloco de 10 kg tem velocidade inicial
para cima em um plano inclinado de
em relação à horizontal. Se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado é de
, determine a distância total percorrida pelo bloco até ele atingir o repouso. Justifique sua resposta.
Um bloco de 10 kg tem velocidade inicial
Passo 1
O enunciado pede a distância total percorrida pelo bloco até atingir repouso. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Além disso, precisamos do valor da aceleração da gravidade; vou usar
O bloco sobe ao longo do plano inclinado e eventualmente para por efeito da componente da gravidade ao longo do plano e da força de atrito cinético. A pergunta é: qual distância ao longo do plano (d) o bloco percorre desde a velocidade inicial até parar?
Passo 2
Escolha do método e ideia física básica (explicando os conceitos passo a passo):
Vou usar o Teorema Trabalho-Energia, que é bem direto aqui. Vou explicar o que ele diz:
Vou usar o Teorema Trabalho-Energia, que é bem direto aqui. Vou explicar o que ele diz:
- Energia cinética inicial do bloco é
. - As forças conservativas e dissipativas fazem trabalho sobre o bloco. O Teorema Trabalho-Energia diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho total realizado pelas forças externas não-conservativas e conservativas:
No nosso caso a energia cinética final é zero (o bloco para), então
Explicação do que contribui para
:
- A componente da força peso paralela ao plano (que aponta para baixo do plano) realiza trabalho negativo enquanto o bloco sobe. Essa componente tem intensidade
. - A força de atrito cinético tem intensidade
, onde é a normal. Para um plano inclinado sem acelerações na direção normal, . Portanto . Como o atrito sempre se opõe ao movimento, enquanto o bloco sobe o atrito aponta para baixo do plano, então também faz trabalho negativo.
Passo 3
Escrever o trabalho total em função da distância
(distância ao longo do plano até parar).
O trabalho feito pela componente da gravidade ao longo de uma distância subindo é
O trabalho feito pela componente da gravidade ao longo de uma distância
O trabalho feito pelo atrito na mesma distância é
Como só existem essas duas forças que realizam trabalho (ignorando resistência do ar etc), o trabalho total é a soma:
Passo 4
Aplicar o Teorema Trabalho-Energia e isolar
.
A variação da energia cinética é
A variação da energia cinética é
Igualando
temos
Os sinais negativos cancelam; também podemos dividir ambos os lados por
(não nulo), obtendo
Isolando
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: velocidade inicial ao longo do plano; -
: aceleração da gravidade; -
, : funções trigonométricas do ângulo do plano; -
: coeficiente de atrito cinético.
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Primeiro calculemos os valores trigonométricos (io que é útil lembrar):
Primeiro calculemos os valores trigonométricos (io que é útil lembrar):
Calcule
:
Agora calcule o denominador
:
Calcule
. Então
Agora o numerador é
. Assim
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos
Passo 6
Interpretação física final e justificativa curta:
- O bloco para porque tanto a componente da gravidade ao longo do plano quanto o atrito dissipa a energia cinética inicial.
- A fórmula mostra que maior
ou maior ângulo (que aumenta ) reduzem a distância percorrida — faz sentido físico. - Usamos o Teorema Trabalho-Energia porque ele evita integrar movimento com aceleração variável (neste caso a aceleração é constante, então poderíamos também usar cinemática, mas o método energético é mais simples e menos propenso a erro de sinais).