QUESTÃO 14: (Mecânica Geral)
Um bloco de 10 kg tem velocidade inicial v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para cima em um plano inclinado de 30^{\circ} em relação à horizontal. Se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado é de \mu_{d}=0,3, determine a distância total percorrida pelo bloco até ele atingir o repouso. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede a distância total percorrida pelo bloco até atingir repouso. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
m=10\\ \mathrm{kg}
v_{0}=10\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{direção: para cima ao longo do plano})çã
\theta=30^\circ
\mu_d=0{,}3
Além disso, precisamos do valor da aceleração da gravidade; vou usar
g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
O bloco sobe ao longo do plano inclinado e eventualmente para por efeito da componente da gravidade ao longo do plano e da força de atrito cinético. A pergunta é: qual distância ao longo do plano (d) o bloco percorre desde a velocidade inicial até parar?

Passo 2

Escolha do método e ideia física básica (explicando os conceitos passo a passo):
Vou usar o Teorema Trabalho-Energia, que é bem direto aqui. Vou explicar o que ele diz:
  • Energia cinética inicial do bloco é \tfrac{1}{2} m v_0^2.
  • As forças conservativas e dissipativas fazem trabalho sobre o bloco. O Teorema Trabalho-Energia diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho total realizado pelas forças externas não-conservativas e conservativas:
\Delta K = W_{\text{total}}.
No nosso caso a energia cinética final é zero (o bloco para), então
0 - \tfrac{1}{2} m v_0^2 = W_{\text{total}}.
Explicação do que contribui para W_{\text{total}}:
  • A componente da força peso paralela ao plano (que aponta para baixo do plano) realiza trabalho negativo enquanto o bloco sobe. Essa componente tem intensidade mg\sin\theta.
  • A força de atrito cinético tem intensidade F_{\text{at}}=\mu_d N, onde N é a normal. Para um plano inclinado sem acelerações na direção normal, N=mg\cos\theta. Portanto F_{\text{at}}=\mu_d mg\cos\theta. Como o atrito sempre se opõe ao movimento, enquanto o bloco sobe o atrito aponta para baixo do plano, então também faz trabalho negativo.

Passo 3

Escrever o trabalho total em função da distância d (distância ao longo do plano até parar).
O trabalho feito pela componente da gravidade ao longo de uma distância \,d subindo é
W_{\text{peso}} = - (mg\sin\theta)\,d.
O trabalho feito pelo atrito na mesma distância é
W_{\text{atrito}} = - (\mu_d mg\cos\theta)\,d.
Como só existem essas duas forças que realizam trabalho (ignorando resistência do ar etc), o trabalho total é a soma:
W_{\text{total}} = -\bigl(mg\sin\theta + \mu_d mg\cos\theta\bigr)\,d.

Passo 4

Aplicar o Teorema Trabalho-Energia e isolar d.
A variação da energia cinética é
\Delta K = 0 - \tfrac{1}{2} m v_0^2 = -\tfrac{1}{2} m v_0^2.
Igualando \Delta K = W_{\text{total}} temos
-\tfrac{1}{2} m v_0^2 = -\bigl(mg\sin\theta + \mu_d mg\cos\theta\bigr)\,d.
Os sinais negativos cancelam; também podemos dividir ambos os lados por m (não nulo), obtendo
\tfrac{1}{2} v_0^2 = \bigl(g\sin\theta + \mu_d g\cos\theta\bigr)\,d.
Isolando d:
d = \frac{\tfrac{1}{2} v_0^2}{g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)} = \frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • v_0: velocidade inicial ao longo do plano;
  • g: aceleração da gravidade;
  • \sin\theta, \cos\theta: funções trigonométricas do ângulo do plano;
  • \mu_d: coeficiente de atrito cinético.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Primeiro calculemos os valores trigonométricos (io que é útil lembrar):
\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}=0{,}5,
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
Calcule \sin\theta + \mu_d\cos\theta:
\sin 30^\circ + \mu_d\cos 30^\circ = 0{,}5 + 0{,}3\times 0{,}8660254
=0{,}5 + 0{,}25980762 = 0{,}75980762.
Agora calcule o denominador 2g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta):
2g(\dots)=2\times 9{,}8 \times 0{,}75980762.
Calcule 2\times 9{,}8 = 19{,}6. Então
19{,}6\times 0{,}75980762 \approx 14{,}8922294.
Agora o numerador é v_0^2 = 10^2 = 100. Assim
d \approx \frac{100}{14{,}8922294}\approx 6{,}713\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos
d \approx 6{,}71\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação física final e justificativa curta:
  • O bloco para porque tanto a componente da gravidade ao longo do plano quanto o atrito dissipa a energia cinética inicial.
  • A fórmula mostra que maior \mu_d ou maior ângulo (que aumenta \sin\theta) reduzem a distância percorrida — faz sentido físico.
  • Usamos o Teorema Trabalho-Energia porque ele evita integrar movimento com aceleração variável (neste caso a aceleração é constante, então poderíamos também usar cinemática, mas o método energético é mais simples e menos propenso a erro de sinais).

Resposta

6,71\\ \mathrm{m}

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