Questão 13. Mostre que o ideal
é um ideal maximal em
. Identifique o corpo
.
Passo 1
O enunciado dá o ideal
em
e pede duas coisas claras:
- Mostrar que o ideal
é maximal em . - Identificar explicitamente o corpo
.
Informações relevantes fornecidas:
- O anel base é
, o anel dos polinômios com coeficientes reais. - O gerador do ideal é o polinômio
. - Não há figura nem dados adicionais; tudo que precisamos vem desses objetos.
Passo 2
Definições e ideia usada (sem resolver ainda): um ideal
de um anel comutativo
é maximal se e somente se o quociente
é um corpo. Logo, para provar que
é maximal basta mostrar que
é um corpo. Vou construir um homomorfismo de anéis natural de
para
que tenha núcleo exatamente
e imagem igual a
; então uso o Teorema do Isomorfismo para concluir que
. Essa escolha é conveniente porque
tem relação direta com a unidade imaginária
(já que
).
Passo 3
Construção do homomorfismo. Defino
por enviar cada polinômio
para o número complexo obtido substituindo
por
:
Verificação rápida de que
é um homomorfismo de anéis:
-
. -
. -
envia o de para o de .
Portantoé um homomorfismo de anéis.
Passo 4
Mostro que
. De fato, para
temos
Como
é um ideal que contém
, segue que
.
Passo 5
Provo que
, ou seja, se
então
divide
em
. Para isso uso o algoritmo da divisão de polinômios: dado
existe
com
onde o grau de
é menor que
; assim
tem forma
com
. Avaliando em
obtemos
Mas
é o número complexo cuja parte real é
e parte imaginária é
. Se
então
e
. Logo
é o polinômio zero. Assim
, isto é,
divide
. Isso prova
.
Com os dois inclusões concluímos que
Passo 6
Mostro que
é sobrejetora (imagem igual a
). Tome um complexo arbitrário
com
. Considere o polinômio
. Então
Portanto todo número complexo é imagem de algum polinômio real linear, logo
. Assim
é sobrejetora.
Passo 7
Aplicando o Primeiro Teorema do Isomorfismo para anéis: se
é um homomorfismo sobrejetor com
, então
Como
é um corpo, o quociente
é um corpo. Pelo fato citado no Passo 2, isso significa que
é um ideal maximal em
.