Questão 13. Mostre que o ideal J=\left(x^{2}+1\right) é um ideal maximal em \mathbb{R}[x]. Identifique o corpo \mathbb{R}[x] / J.

Passo 1

O enunciado dá o ideal J=\left(x^{2}+1\right) em \mathbb{R}[x] e pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que o ideal J é maximal em \mathbb{R}[x].
  2. Identificar explicitamente o corpo \mathbb{R}[x]/J.
Informações relevantes fornecidas:
  • O anel base é \mathbb{R}[x], o anel dos polinômios com coeficientes reais.
  • O gerador do ideal é o polinômio x^{2}+1.
  • Não há figura nem dados adicionais; tudo que precisamos vem desses objetos.

Passo 2

Definições e ideia usada (sem resolver ainda): um ideal I de um anel comutativo A é maximal se e somente se o quociente A/I é um corpo. Logo, para provar que J é maximal basta mostrar que \mathbb{R}[x]/J é um corpo. Vou construir um homomorfismo de anéis natural de \mathbb{R}[x] para \mathbb{C} que tenha núcleo exatamente \left(x^{2}+1\right) e imagem igual a \mathbb{C}; então uso o Teorema do Isomorfismo para concluir que \mathbb{R}[x]/J\cong\mathbb{C}. Essa escolha é conveniente porque x^{2}+1 tem relação direta com a unidade imaginária i\in\mathbb{C} (já que i^{2}=-1).

Passo 3

Construção do homomorfismo. Defino \varphi:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{C} por enviar cada polinômio f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x+a_{0} para o número complexo obtido substituindo x por i:
\varphi(f)=f(i)=a_{n}i^{n}+\cdots+a_{1}i+a_{0}.
Verificação rápida de que \varphi é um homomorfismo de anéis:
  • \varphi(f+g)=f(i)+g(i)=\varphi(f)+\varphi(g).
  • \varphi(fg)=f(i)g(i)=\varphi(f)\varphi(g).
  • \varphi envia o 1 de \mathbb{R}[x] para o 1 de \mathbb{C}.
    Portanto \varphi é um homomorfismo de anéis.

Passo 4

Mostro que \left(x^{2}+1\right)\subseteq\ker\varphi. De fato, para g(x)=x^{2}+1 temos
\varphi(g)=g(i)=i^{2}+1=-1+1=0.
Como \ker\varphi é um ideal que contém g, segue que \left(x^{2}+1\right)\subseteq\ker\varphi.

Passo 5

Provo que \ker\varphi\subseteq\left(x^{2}+1\right), ou seja, se f(i)=0 então x^{2}+1 divide f em \mathbb{R}[x]. Para isso uso o algoritmo da divisão de polinômios: dado f\in\mathbb{R}[x] existe q,r\in\mathbb{R}[x] com
f(x)=(x^{2}+1)q(x)+r(x),
onde o grau de r é menor que 2; assim r tem forma r(x)=\alpha x+\beta com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Avaliando em x=i obtemos
0=f(i)=(i^{2}+1)q(i)+r(i)=0\cdot q(i)+(\alpha i+\beta)=\alpha i+\beta.
Mas \alpha i+\beta=\beta+i\alpha é o número complexo cuja parte real é \beta e parte imaginária é \alpha. Se \beta+i\alpha=0 então \beta=0 e \alpha=0. Logo r é o polinômio zero. Assim f(x)=(x^{2}+1)q(x), isto é, x^{2}+1 divide f. Isso prova \ker\varphi\subseteq\left(x^{2}+1\right).
Com os dois inclusões concluímos que
\ker\varphi=\left(x^{2}+1\right).

Passo 6

Mostro que \varphi é sobrejetora (imagem igual a \mathbb{C}). Tome um complexo arbitrário z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}. Considere o polinômio f(x)=a+bx\in\mathbb{R}[x]. Então
\varphi(f)=f(i)=a+bi=z.
Portanto todo número complexo é imagem de algum polinômio real linear, logo \operatorname{Im}\varphi=\mathbb{C}. Assim \varphi é sobrejetora.

Passo 7

Aplicando o Primeiro Teorema do Isomorfismo para anéis: se \varphi:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{C} é um homomorfismo sobrejetor com \ker\varphi=\left(x^{2}+1\right), então
\mathbb{R}[x]/\left(x^{2}+1\right)\cong\mathbb{C}.
Como \mathbb{C} é um corpo, o quociente \mathbb{R}[x]/J é um corpo. Pelo fato citado no Passo 2, isso significa que J é um ideal maximal em \mathbb{R}[x].

Resposta

J é um ideal maximal em \mathbb{R}[x].\n \mathbb{R}[x]/J\cong\mathbb{C}.

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