Questão 17. Sejam
corpo e
tal que
. Mostre que ou
é irredutível sobre
ou
possui uma raiz em
. E se
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede explicitamente o que segue.
- Dado um corpo
e um polinômio . - Sabe-se que
, isto é, o grau de é , ou . - Pedem que eu mostre que ou
é irreduzível sobre ou possui uma raiz em . - Depois pedem para discutir o caso
.
Informações relevantes que o enunciado deu: o corpo
(qualquer corpo) e o grau de
(entre
e
, e depois o caso
). Nada mais foi fornecido — devo usar apenas essas hipóteses.
Passo 2
Primeiro preciso usar um fato básico e essencial: relação entre raízes e fatores lineares. Vou enunciar e provar esse fato de forma detalhada (é a “fórmula da divisão” aplicada a
).
Fato: para
e
vale
Prova passo a passo: pelo algoritmo da divisão em
(que funciona porque
é corpo) ao dividir
por
existe
e
(constante) tais que
onde o resto
tem grau menor que
, logo é constante. Agora avalio em
:
Assim
. Portanto
se e somente se
, isto é, se e somente se o resto da divisão é zero, o que significa que
divide
. Isso prova o fato.
Comentário amigo: esse é um resultado que usamos o tempo todo — raiz ↔ fator linear — e a prova é só dividir e avaliar. Guarda isso, que vale para qualquer corpo.
Passo 3
Vou usar agora um raciocínio por casos simples sobre o grau de
.
Caso
. Então
é um polinômio afim não nulo; escrevendo explicitamente,
com
e
. Disto segue imediatamente que
, ou seja,
possui uma raiz em
. (Observação: polinômios de grau
também são irreduzíveis, mas a disjunção “ou” no enunciado permite ambas as coisas; o importante é que pelo menos uma das alternativas vale.)
Passo 4
Caso
ou
. Vou raciocinar pela negação: suponha que
não seja irreduzível, isto é, suponha que
seja redutível em
. Então existem polinômios não constantes
tais que
e
. Como
e
, as únicas possibilidades para os pares
são:
- se
: ; - se
: ou .
Em todas essas possibilidades ao menos um dos fatores tem grau
. Logo existe um fator linear
que divide
. Pelo passo anterior (fato raiz ↔ fator linear), isso implica que existe
tal que
. Portanto, se
é redutível então
tem raiz em
. Conclusão: para
temos que ou
é irreduzível, ou (caso seja redutível) tem um fator linear e portanto uma raiz em
.
Passo 5
Juntando os casos: para
mostramos passo a passo que sempre vale a alternativa pedida — ou
é irreduzível, ou
possui uma raiz em
. (Lembra: para grau
ele tem raiz; para graus
e
se for redutível necessariamente aparece um fator de grau
.)
Respira um pouco — isso é o argumento todo para a primeira parte. É curto e elegante: o ponto-chave é que não há como escrever um polinômio de grau
ou
como produto de dois polinômios ambos de grau ≥2, porque os graus somariam pelo menos
.
Passo 6
Agora o que acontece se
? Vou mostrar que a afirmação anterior deixa de ser verdadeira: é possível ter
redutível em
e, ao mesmo tempo, não ter nenhuma raiz em
. O motivo é que com grau
podemos ter a fatoração
com
. Se ambos os quadráticos forem irredutíveis sobre
(ou seja, não têm raízes em
), então
é redutível mas não tem fator linear, logo não tem raiz em
.
Vou dar um exemplo concreto (simples e bem conhecido) para fixar a ideia. Tome
(os racionais) e
- Aqui eu peguei os dados explicitamente:
é o quadrado de , logo é redutível em (fator não-trivial de grau aparece). - O polinômio
não tem raiz em (porque não existe com ). Assim cada fator quadrático é irreduzível sobre . - Portanto
é redutível (factora em dois quadráticos) e, ao mesmo tempo, não possui nenhuma raiz em .
Isto mostra claramente que para
a conclusão “ou
irreduzível ou
tem raiz em
” não é mais verdadeira em geral: podemos ter polinômio redutível sem raiz em
.
Resposta
Para
: ou
é irreduzível sobre
ou
possui uma raiz em
.
Para
: não necessariamente — por exemplo, em
é redutível e não tem raiz em
.