Seja P_{n}(\mathbb{R}) o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de P_{2}, com as operações usuais, são subespaços de P_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in P_{2}(\mathbb{R}) ; a_{1}=1\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço linear de todos os polinômios reais de grau ≤ 2 e pede para determinar se o subconjunto
W=\{a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{1}=1\}
é um subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). Informações relevantes que o enunciado fornece:
\;1.;O universo é P_{2}(\mathbb{R}), ou seja, polinômios a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} com a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}.
\;2.;O subconjunto W é formado por exatamente aqueles polinômios cujo coeficiente do termo t é igual a 1 (ou seja, a_{1}=1).
A pergunta é apenas: W é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais?

Passo 2

Relembrando (com calma) o que significa ser subespaço: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se as três propriedades abaixo forem satisfeitas:
\;1.;o vetor nulo de V pertence a S;
\;2.;para quaisquer u,v\in S, o vetor u+v pertence a S (fechamento por adição);
\;3.;para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R} e qualquer u\in S, o vetor \lambda u pertence a S (fechamento por multiplicação escalar).
Explicando um pouco: no nosso caso o vetor nulo é o polinômio nulo \;0, isto é, o polinômio com todos os coeficientes iguais a 0. As operações “adição” e “multiplicação por escalar” em P_{2}(\mathbb{R}) atuam coeficiente a coeficiente: se p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} e q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}, então
p+q=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})t+(a_{2}+b_{2})t^{2},
e para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda p=(\lambda a_{0})+(\lambda a_{1})t+(\lambda a_{2})t^{2}.
Vou usar estas três propriedades para testar W.

Passo 3

Teste do vetor nulo: o polinômio nulo é
0 = 0 + 0\cdot t + 0\cdot t^{2},
ou seja, tem coeficiente do termo t igual a 0. Mas em W exigimos que o coeficiente do termo t seja 1. Portanto o polinômio nulo não pertence a W. Como o primeiro requisito (contém o vetor nulo) falha, já podemos concluir que W não é subespaço. Mesmo assim, para ficar bem claro, vou mostrar contraprovas diretas para as outras propriedades também.

Passo 4

Contraexemplo à fechamento por adição: escolha dois elementos de W. Um exemplo simples é
p(t)=t \quad\text{(aqui \(a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=0\))},
q(t)=t \quad\text{(idem)}.
Ambos têm coeficiente de t igual a 1, logo p,q\in W. Agora some:
p(t)+q(t)=t+t=2t.
No polinômio 2t o coeficiente do termo t é 2, não 1. Logo p+q\notin W. Portanto W não é fechado sob adição.

Passo 5

Contraexemplo à fechamento por multiplicação escalar: pegue p(t)=t\in W como acima e o escalar \lambda=0. Então
0\cdot p(t)=0,
que é o polinômio nulo, com coeficiente de t igual a 0. Assim 0\cdot p\notin W. Logo W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão e intuição: já que W não contém o polinômio nulo e falha em pelo menos uma (na verdade em todas as) propriedades de subespaço, temos que W não é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). Intuitivamente, W é um conjunto do tipo "todos os polinômios cujo coeficiente de t está fixado em 1"; isso é um deslocamento (uma translação) de um subespaço linear (o subespaço dos polinômios com coeficiente de t igual a 0). Conjuntos assim são chamados de subespaços afins, não de subespaços lineares, salvo se a constante fixa fosse 0.

Resposta

W não é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}).

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