Seja
o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a
, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de
, com as operações usuais, são subespaços de
.
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço linear de todos os polinômios reais de grau ≤ 2 e pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
;O universo é
, ou seja, polinômios
com
.
;O subconjunto
é formado por exatamente aqueles polinômios cujo coeficiente do termo
é igual a
(ou seja,
).
A pergunta é apenas: é subespaço de
com as operações usuais?
A pergunta é apenas:
Passo 2
Relembrando (com calma) o que significa ser subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se as três propriedades abaixo forem satisfeitas:
;o vetor nulo de
pertence a
;
;para quaisquer
, o vetor
pertence a
(fechamento por adição);
;para qualquer escalar
e qualquer
, o vetor
pertence a
(fechamento por multiplicação escalar).
Explicando um pouco: no nosso caso o vetor nulo é o polinômio nulo , isto é, o polinômio com todos os coeficientes iguais a
. As operações “adição” e “multiplicação por escalar” em
atuam coeficiente a coeficiente: se
e
, então
Explicando um pouco: no nosso caso o vetor nulo é o polinômio nulo
e para
,
Vou usar estas três propriedades para testar
.
Passo 3
Teste do vetor nulo: o polinômio nulo é
ou seja, tem coeficiente do termo
igual a
. Mas em
exigimos que o coeficiente do termo
seja
. Portanto o polinômio nulo não pertence a
. Como o primeiro requisito (contém o vetor nulo) falha, já podemos concluir que
não é subespaço. Mesmo assim, para ficar bem claro, vou mostrar contraprovas diretas para as outras propriedades também.
Passo 4
Contraexemplo à fechamento por adição: escolha dois elementos de
. Um exemplo simples é
Ambos têm coeficiente de
igual a
, logo
. Agora some:
No polinômio
o coeficiente do termo
é
, não
. Logo
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 5
Contraexemplo à fechamento por multiplicação escalar: pegue
como acima e o escalar
. Então
que é o polinômio nulo, com coeficiente de
igual a
. Assim
. Logo
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão e intuição: já que
não contém o polinômio nulo e falha em pelo menos uma (na verdade em todas as) propriedades de subespaço, temos que
não é subespaço de
. Intuitivamente,
é um conjunto do tipo "todos os polinômios cujo coeficiente de
está fixado em
"; isso é um deslocamento (uma translação) de um subespaço linear (o subespaço dos polinômios com coeficiente de
igual a
). Conjuntos assim são chamados de subespaços afins, não de subespaços lineares, salvo se a constante fixa fosse
.