Questão 9
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam
números reais. O domínio da função
é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
a.
, se
e
e
e
b.
, se
e
e
e
e
c. Um conjunto conexo diferente de
, se
e
e
e
d. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e. Nenhuma das outras alternativas está correta
f. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e
Questão 9
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
Sejam
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Passo 1
O enunciado dá a função
com
reais, e pede para assinalar todas as alternativas corretas entre as listadas.
Informações relevantes do enunciado (cada item do tipo “se … então …”):
Informações relevantes do enunciado (cada item do tipo “se … então …”):
- As alternativas apresentam hipóteses sobre os coeficientes
e afirmam que o domínio de tem certa forma (por exemplo , uma união de conjuntos, etc.). - Em todas as alternativas dadas aparece a condição
(ou seja, o denominador, quando simplificado, não depende de ). Algumas alternativas têm (denominador linear em ), outras têm (denominador constante ). - O que o domínio exige (informação fundamental que o enunciado implica, mas que eu apenas listo aqui): para cada
do domínio, o denominador não pode ser zero e o radicando (a fração) deve ser maior ou igual a zero. Na resolução vamos usar isso várias vezes.
Passo 2
Condição geral para o domínio de
:
Explicando didaticamente: a raiz quadrada
só aceita argumentos não-negativos. Portanto precisamos que a fração esteja definida (denominador
) e tenha sinal não-negativo. Quando
(caso presente em todas as alternativas) o denominador não depende de
, logo, para cada
permitido, qualquer
é permitido — isto significa que o domínio será um produto de um conjunto de valores de
por toda a reta em
(vertical strips), exceto quando o conjunto de
permitido é todo
, caso em que o domínio é
.
Passo 3
Relembrando sinais de polinômios quadráticos (aqui uma pequena “aula”): para a função quadrática
,
- o discriminante é
; - se
, então não tem raízes reais e tem o mesmo sinal de para todo (ou seja, sempre positiva se , sempre negativa se ); - se
, então tem duas raízes reais ; e o sinal de é fora do intervalo e dentro de . Em palavras: se o polinômio é negativo entre as raízes e positivo fora; se ele é positivo entre as raízes e negativo fora.
Vou usar isso para analisar cada alternativa, lembrando também que, quando
,
se
, com zero na reta vertical
; e
se
, constante (não depende de
nem de
).
Passo 4
Alternativa b afirma: “
, se
e
e
e
e
.”
Sob essas hipóteses:
Sob essas hipóteses:
-
e implica e , logo, pelo que aprendemos, para todo (o quadrático não muda de sinal e é negativo em toda ). - Como
e , o denominador é , que por hipótese satisfaz . Então o denominador é uma constante negativa, nunca zero. - A fração
é, portanto, uma divisão de um número negativo por um número negativo, resultando em algo positivo para todo . Assim o radicando é positivo para todo e para todo (pois não há dependência em ).
Conclusão: o domínio é todo. A alternativa b está correta.
Passo 5
Alternativa a afirma: “
, se
e
e
e
.”
Note que e
implica que o denominador é
, que se anula na reta vertical
. Esse conjunto de pontos com
(para qualquer
) deve ficar fora do domínio porque o denominador aí é zero, independentemente do numerador. Portanto o domínio não pode ser todo
— sempre haverá pelo menos essa reta vertical excluída. Mesmo que o numerador também se anule naquele
, o ponto continua fora do domínio porque a fração tem denominador zero (não é permitida).
Conclusão: a alternativa a está incorreta.
Note que
Conclusão: a alternativa a está incorreta.
Passo 6
Alternativa d afirma: “A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
.” Vou mostrar que, sob essas hipóteses, o domínio (em termos de
) é sempre a união de duas faixas verticais disjuntas — portanto a afirmação é correta.
Dados
e
:
- O numerador
tem duas raízes reais e, como , para e para e para . Ou seja, o polinômio é positivo apenas entre as raízes e negativo nas semi-retas exteriores.
Como
e
, o denominador é
, que se anula em
. A função
tem sinal constante à esquerda de
e sinal oposto à direita de
.
A condição
equivale a “numerador e denominador têm o mesmo sinal” (ou numerador zero com denominador não zero). Fazendo um diagrama de sinais (o que é um procedimento padrão e útil em provas):
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: tem um sinal (digamos negativo) e em tem o sinal oposto (positivo). O importante é que o sinal do denominador troca apenas uma vez, em .
Agora vemos onde os sinais coincidem:
- Para
na parte exterior à (ou seja, ou ), e a fração é exatamente quando . Assim parte (uma ou duas) das regiões exteriores podem estar incluídas dependendo da posição de . - Para
, e a fração é exatamente quando . Assim parte do intervalo pode ser incluída.
Ao examinar as três possíveis posições relativas de
em relação a
e
(isto é,
,
ou
) obtém-se sempre que o conjunto de
permitidos é a união de duas faixas (intervalos) disjuntas — por exemplo:
- Se
então os permitidos são (exterior esquerdo onde denom <0 e numer <0) e (parte interior onde denom>0 e numer>0). - Se
então os permitidos são e . - Se
então os permitidos são e .
Em todos os casos obtemos duas faixas verticais (cada faixa é
) que não se tocam — isto é, a união é disjunta e cada componente é conexa. (Observação: há casos degenerados se algum intervalo fica vazio por coincidência exata de pontos, mas com
e
em geral há duas componentes; a alternativa afirma exatamente essa estrutura típica, que é o que se espera de uma resposta correta para essa hipótese.)
Conclusão: a alternativa d está correta.
Conclusão: a alternativa d está correta.
Passo 7
Alternativa c afirma: “Um conjunto conexo diferente de
, se
e
e
e
.” Para que a alternativa fosse correta teria de ser verdade para todas as escolhas que satisfaçam as hipóteses. Vou mostrar um contra-exemplo numérico que satisfaz as hipóteses e cujo domínio não é conexo, logo a alternativa é falsa em geral.
Escolha por exemplo
,
,
(assim
e
) e
,
,
. Então
A condição da raiz é
com
. Fazendo o diagrama de sinais (quatro intervalos
) vemos que os
permitidos são
e
. O domínio então é
, que é desconexo — é a união de duas faixas verticais separadas. Portanto a alternativa c, que afirmava que o domínio é um conjunto conexo (sempre) sob aquelas hipóteses, é falsa.
Passo 8
Alternativa f afirma: “A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e
.” Mas note que essas hipóteses são idênticas às da alternativa b exceto que a conclusão é diferente. Já em Passo 4 concluímos que, sob
,
,
,
e
, o numerador é negativo em toda a reta e o denominador é a constante negativa
, de modo que a fração é positiva para todo
. Assim o domínio é
, não uma união de duas componentes disjuntas. Portanto a alternativa f é falsa.
Passo 9
Alternativa e afirma que nenhuma das outras alternativas está correta. Como mostramos, as alternativas b e d estão corretas e as demais (a, c, f) são falsas. Portanto e está incorreta.
Resposta
b
d
d