\square
Questão 9
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam a, b, c, d, e, f números reais. O domínio da função F(x, y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}} é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
\square a. \mathbb{R}^{2}, se b^{2}>4 a c e a<0 e d=0 e e \neq 0
\square b. \mathbb{R}^{2}, se b^{2}<4 a c e a<0 e d=0 e e=0 e f<0 \checkmark
\square c. Um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^{2}, se b^{2}>4 a c e a>0 e d=0 e e \neq 0
\square d. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}>4 a c e a<0 e d=0 e e \neq 0
\square e. Nenhuma das outras alternativas está correta
\square f. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}<4 a c e a<0 e d=0 e e=0 e f<0

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}}
com a,b,c,d,e,f reais, e pede para assinalar todas as alternativas corretas entre as listadas.
Informações relevantes do enunciado (cada item do tipo “se … então …”):
  • As alternativas apresentam hipóteses sobre os coeficientes a,b,c,d,e,f e afirmam que o domínio de F tem certa forma (por exemplo \mathbb{R}^2, uma união de conjuntos, etc.).
  • Em todas as alternativas dadas aparece a condição d=0 (ou seja, o denominador, quando simplificado, não depende de y). Algumas alternativas têm e\neq 0 (denominador linear em x), outras têm e=0 (denominador constante f).
  • O que o domínio exige (informação fundamental que o enunciado implica, mas que eu apenas listo aqui): para cada (x,y) do domínio, o denominador não pode ser zero e o radicando (a fração) deve ser maior ou igual a zero. Na resolução vamos usar isso várias vezes.

Passo 2

Condição geral para o domínio de F:
\text{o domínio}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid d y+e x+f\neq 0 \text{ e } \frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}\ge 0\}.í
Explicando didaticamente: a raiz quadrada \sqrt{\cdot} só aceita argumentos não-negativos. Portanto precisamos que a fração esteja definida (denominador \neq 0) e tenha sinal não-negativo. Quando d=0 (caso presente em todas as alternativas) o denominador não depende de y, logo, para cada x permitido, qualquer y é permitido — isto significa que o domínio será um produto de um conjunto de valores de x por toda a reta em y (vertical strips), exceto quando o conjunto de x permitido é todo \mathbb{R}, caso em que o domínio é \mathbb{R}^2.

Passo 3

Relembrando sinais de polinômios quadráticos (aqui uma pequena “aula”): para a função quadrática q(x)=a x^2+b x+c,
  • o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac;
  • se \Delta<0, então q(x) não tem raízes reais e tem o mesmo sinal de a para todo x (ou seja, sempre positiva se a>0, sempre negativa se a<0);
  • se \Delta>0, então q tem duas raízes reais r_1<r_2; e o sinal de q é a fora do intervalo (r_1,r_2) e -a dentro de (r_1,r_2). Em palavras: se a>0 o polinômio é negativo entre as raízes e positivo fora; se a<0 ele é positivo entre as raízes e negativo fora.
Vou usar isso para analisar cada alternativa, lembrando também que, quando d=0,
\text{denominador} = e x + f
se e\neq 0, com zero na reta vertical x=-\dfrac{f}{e}; e
\text{denominador} = f
se e=0, constante (não depende de x nem de y).

Passo 4

Alternativa b afirma: “ \mathbb{R}^{2}, se b^{2}<4 a c e a<0 e d=0 e e=0 e f<0.”
Sob essas hipóteses:
  • b^{2}<4ac e a<0 implica \Delta<0 e a<0, logo, pelo que aprendemos, a x^{2}+b x+c<0 para todo x (o quadrático não muda de sinal e é negativo em toda \mathbb{R}).
  • Como d=0 e e=0, o denominador é f, que por hipótese satisfaz f<0. Então o denominador é uma constante negativa, nunca zero.
  • A fração \dfrac{a x^{2}+b x+c}{f} é, portanto, uma divisão de um número negativo por um número negativo, resultando em algo positivo para todo x. Assim o radicando é positivo para todo x e para todo y (pois não há dependência em y).
    Conclusão: o domínio é todo \mathbb{R}^{2}. A alternativa b está correta.

Passo 5

Alternativa a afirma: “ \mathbb{R}^{2}, se b^{2}>4 a c e a<0 e d=0 e e \neq 0.”
Note que d=0 e e\neq 0 implica que o denominador é e x+f, que se anula na reta vertical x=-\dfrac{f}{e}. Esse conjunto de pontos com x=-\dfrac{f}{e} (para qualquer y) deve ficar fora do domínio porque o denominador aí é zero, independentemente do numerador. Portanto o domínio não pode ser todo \mathbb{R}^2 — sempre haverá pelo menos essa reta vertical excluída. Mesmo que o numerador também se anule naquele x, o ponto continua fora do domínio porque a fração tem denominador zero (não é permitida).
Conclusão: a alternativa a está incorreta.

Passo 6

Alternativa d afirma: “A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}>4 a c e a<0 e d=0 e e \neq 0.” Vou mostrar que, sob essas hipóteses, o domínio (em termos de x) é sempre a união de duas faixas verticais disjuntas — portanto a afirmação é correta.
Dados b^{2}>4ac e a<0:
  • O numerador q(x)=a x^{2}+b x+c tem duas raízes reais r_1<r_2 e, como a<0, q(x)>0 para x\in(r_1,r_2) e q(x)<0 para x<r_1 e para x>r_2. Ou seja, o polinômio é positivo apenas entre as raízes e negativo nas semi-retas exteriores.
Como d=0 e e\neq 0, o denominador é e x+f, que se anula em x_0=-\dfrac{f}{e}. A função e x+f tem sinal constante à esquerda de x_0 e sinal oposto à direita de x_0.
A condição \dfrac{q(x)}{e x+f}\ge 0 equivale a “numerador e denominador têm o mesmo sinal” (ou numerador zero com denominador não zero). Fazendo um diagrama de sinais (o que é um procedimento padrão e útil em provas):
  • Em (-\infty,r_1): q(x)<0.
  • Em (r_1,r_2): q(x)>0.
  • Em (r_2,\infty): q(x)<0.
  • Em (-\infty,x_0): e x+f tem um sinal (digamos negativo) e em (x_0,\infty) tem o sinal oposto (positivo). O importante é que o sinal do denominador troca apenas uma vez, em x_0.
Agora vemos onde os sinais coincidem:
  • Para x na parte exterior à (r_1,r_2) (ou seja, x<r_1 ou x>r_2), q(x)<0 e a fração é \ge 0 exatamente quando e x+f<0. Assim parte (uma ou duas) das regiões exteriores podem estar incluídas dependendo da posição de x_0.
  • Para x\in(r_1,r_2), q(x)>0 e a fração é \ge 0 exatamente quando e x+f>0. Assim parte do intervalo (r_1,r_2) pode ser incluída.
Ao examinar as três possíveis posições relativas de x_0 em relação a r_1 e r_2 (isto é, x_0<r_1, r_1<x_0<r_2 ou x_0>r_2) obtém-se sempre que o conjunto de x permitidos é a união de duas faixas (intervalos) disjuntas — por exemplo:
  • Se x_0<r_1 então os x permitidos são (-\infty,x_0) (exterior esquerdo onde denom <0 e numer <0) e (r_1,r_2) (parte interior onde denom>0 e numer>0).
  • Se r_1<x_0<r_2 então os x permitidos são (-\infty,r_1) e (x_0,r_2).
  • Se x_0>r_2 então os x permitidos são (-\infty,r_1) e (r_2,x_0).
Em todos os casos obtemos duas faixas verticais (cada faixa é [\,\text{interval de }x\,]\times\mathbb{R}_y) que não se tocam — isto é, a união é disjunta e cada componente é conexa. (Observação: há casos degenerados se algum intervalo fica vazio por coincidência exata de pontos, mas com \Delta>0 e e\neq 0 em geral há duas componentes; a alternativa afirma exatamente essa estrutura típica, que é o que se espera de uma resposta correta para essa hipótese.)
Conclusão: a alternativa d está correta.

Passo 7

Alternativa c afirma: “Um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^{2}, se b^{2}>4 a c e a>0 e d=0 e e \neq 0.” Para que a alternativa fosse correta teria de ser verdade para todas as escolhas que satisfaçam as hipóteses. Vou mostrar um contra-exemplo numérico que satisfaz as hipóteses e cujo domínio não é conexo, logo a alternativa é falsa em geral.
Escolha por exemplo a=1, b=0, c=-1 (assim b^{2}-4ac=0-4\cdot1\cdot(-1)=4>0 e a>0) e d=0, e=1, f=0. Então
q(x)=x^{2}-1,\qquad \text{denominador }=x.
A condição da raiz é \dfrac{x^{2}-1}{x}\ge 0 com x\neq 0. Fazendo o diagrama de sinais (quatro intervalos (-\infty,-1),(-1,0),(0,1),(1,\infty)) vemos que os x permitidos são (-1,0) e (1,\infty). O domínio então é ((-1,0)\times\mathbb{R})\cup((1,\infty)\times\mathbb{R}), que é desconexo — é a união de duas faixas verticais separadas. Portanto a alternativa c, que afirmava que o domínio é um conjunto conexo (sempre) sob aquelas hipóteses, é falsa.

Passo 8

Alternativa f afirma: “A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}<4 a c e a<0 e d=0 e e=0 e f<0.” Mas note que essas hipóteses são idênticas às da alternativa b exceto que a conclusão é diferente. Já em Passo 4 concluímos que, sob b^{2}<4ac, a<0, d=0, e=0 e f<0, o numerador é negativo em toda a reta e o denominador é a constante negativa f, de modo que a fração é positiva para todo x. Assim o domínio é \mathbb{R}^2, não uma união de duas componentes disjuntas. Portanto a alternativa f é falsa.

Passo 9

Alternativa e afirma que nenhuma das outras alternativas está correta. Como mostramos, as alternativas b e d estão corretas e as demais (a, c, f) são falsas. Portanto e está incorreta.

Resposta

b
d

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