Questão 13. Os pontos P=(-1,2,1) e Q=(2,3,2) estão sobre uma reta r. Encontre:
(a) A equação vetorial de r.
(b) Encontre as equações paramétricas do segmento de reta P Q.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P=(-1,2,1) e Q=(2,3,2) e pede (a) a forma vetorial da reta r que passa por eles e (b) as equações paramétricas do segmento PQ. Para isso vamos (1) encontrar o vetor direção \vec{PQ} e (2) montar a equação da reta, depois restringir o parâmetro para obter o segmento.

Passo 2

O vetor direção é simplesmente a diferença entre as coordenadas de Q e P:
\vec{PQ} = Q - P = (2 - (-1),\,3 - 2,\,2 - 1) = (3,\,1,\,1).

Passo 3

A equação vetorial da reta r que passa por P e tem direção \vec{PQ} é
\vec r(t) = (-1,\,2,\,1) + t\,(3,\,1,\,1),
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para descrever o segmento PQ em forma paramétrica, usamos as mesmas expressões mas com t variando de 0 a 1. Assim:
\begin{cases} x = -1 + 3t,\\\ y = 2 + t,\\\ z = 1 + t, \end{cases} \quad 0 \le t \le 1.

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(t)=(-1,2,1)+t\,(3,1,1),\;t\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle x=-1+3t,\;y=2+t,\;z=1+t,\;0\le t\le1.

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