Questão 15. Dadas duas retas, r e s, cujas equações são r : \begin{array}{l} x=1+2 \alpha \\\ y=-2+\alpha \\\ z=3+5 \alpha \end{array} \right. e s:{(x, y, z)=(1,-2,3)+\beta(1,1,1)}. Encontre as equações paramétricas de um plano que contém as retas r e s.

Passo 1

Temos duas retas em \mathbb{R}^3\): \(r\colon\) \[\begin{cases} x = 1 + 2\alpha,\\\ y = -2 + \alpha,\\\ z = 3 + 5\alpha, \end{cases}
e (s\colon (x,y,z) = (1,-2,3) + \beta,(1,1,1).]
A tarefa é encontrar as equações paramétricas de um plano que contenha ambas as retas. Para isso, precisamos achar um ponto comum a elas e dois vetores diretores independentes que gerem o plano.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores: \vec v_r = (2,1,5) para r e \vec v_s = (1,1,1) para s.
Procuramos também o ponto de interseção resolvendo
1 + 2\alpha = 1 + \beta,\quad -2 + \alpha = -2 + \beta,\quad 3 + 5\alpha = 3 + \beta.
Das duas primeiras igualdades vem \beta = \alpha e 2\alpha = \alpha, logo \alpha = 0 e \beta = 0. Isso confirma que as retas se cruzam em
P = (x,y,z)\big|_{\alpha=0,\beta=0} = (1,-2,3).

Passo 3

Um plano que contenha r e s passa pelo ponto P=(1,-2,3) e é gerado pelos vetores \vec v_r e \vec v_s. Assim sua forma vetorial afim é
(x,y,z) = (1,-2,3) + u\,(2,1,5) + v\,(1,1,1),
onde u,v\in\mathbb{R}.

Passo 4

Convertendo para equações paramétricas, com parâmetros u e v, temos
\begin{cases} x = 1 + 2u + v,\\\ y = -2 + u + v,\\\ z = 3 + 5u + v. \end{cases}

Resposta

\begin{cases} x = 1 + 2u + v,\\\ y = -2 + u + v,\\\ z = 3 + 5u + v, \end{cases} \quad u,v\in\mathbb{R}.

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