Questão 07 -

Um satélite com massa m está orbitando a Terra (massa M e raio R) em uma trajetória circular de raio r . Em um dado momento ( \mathrm{t}=0 ) devido à ação da atmosfera, começa a perder energia a uma taxa constante a (com a<0 ). A partir daí, ele atinge a superfície da Terra em t=t_{0}>0. Nessas condições, determine r em termos de t_{0}, G (constante da gravitação), \mathrm{m}, \mathrm{M} \in \mathrm{R}.
a) \left(\frac{G m M}{G m M-2 a R t_{0}}\right) R.
b) \left(\frac{\mathrm{GmM}}{\mathrm{GmM}+2 \mathrm{aRt}_{0}}\right) \mathrm{R}.
c) \left(\frac{G m M}{G m M-a R t_{0}}\right) R.
d) \left(\frac{G m M}{G m M+a R t_{0}}\right) R.
e) \left(\frac{G m M}{a R t_{0}}\right) R.

Passo 1

O enunciado diz que um satélite de massa m está em órbita circular de raio inicial r em torno da Terra (massa M, raio R) e, a partir de t=0, perde energia a uma taxa constante a até atingir a superfície r=R em t=t_0. O conteúdo usado será energia mecânica de órbita circular e balanço energético.

Passo 2

A energia mecânica total de um corpo de massa m em órbita circular de raio x é
E(x)=-\frac{G\,M\,m}{2\,x}.
Logo, no início x=r temos
E_i=E(r)=-\frac{G\,M\,m}{2\,r},
e ao chegar à superfície x=R
E_f=E(R)=-\frac{G\,M\,m}{2\,R}.

Passo 3

A variação de energia do satélite é
\Delta E=E_f-E_i =-\frac{G\,M\,m}{2\,R} +\frac{G\,M\,m}{2\,r} =\frac{G\,M\,m}{2}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\Bigr).

Passo 4

Como a taxa de perda de energia é constante a, vale
\Delta E = a\,t_0.
Substituindo,
\frac{G\,M\,m}{2}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\Bigr)=a\,t_0.

Passo 5

Isolando \tfrac{1}{r}:
\frac{1}{r} =\frac{2\,a\,t_0}{G\,M\,m}+\frac{1}{R} \quad\Longrightarrow\quad r =\frac{1}{\displaystyle\frac{2\,a\,t_0}{G\,M\,m}+\frac{1}{R}} =\frac{G\,M\,m}{G\,M\,m+2\,a\,R\,t_0}\;R.

Resposta

(b) \displaystyle \bigl(\tfrac{G m M}{G m M+2 a R t_{0}}\bigr)R.

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