Questão 08 -
Um satélite de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade vo da superfície da Terra. Depois de ter atingido uma altura
(medida a partir da superfície terrestre), é ejetado dele um foguete de massa m/10 e o satélite passa a orbitar a Terra em uma trajetória circular na altura R. Assinale a alternativa que consta a energia cinética do foguete.
Dados: R é o raio terrestre, M é a massa terrestre e G é a constante da gravitação.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
Dados: R é o raio terrestre, M é a massa terrestre e G é a constante da gravitação.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que um corpo de massa
é lançado verticalmente da superfície da Terra com velocidade inicial
e atinge a altura
(onde
é também o raio da Terra). Nesse ponto, separa-se um foguete de massa
e o restante
entra em órbita circular a essa altura. Queremos a energia cinética do foguete imediatamente após a ejeção, usando conservação de energia para achar a velocidade radial antes da ejeção, conservação de força centrípeta para a velocidade orbital, e conservação de quantidade de movimento para as velocidades após a separação.
Passo 2
Determinar a velocidade radial
do conjunto justo ao passar pela altura
. Pela conservação de energia entre a superfície
e
:
Isolando
,
logo
Passo 3
A velocidade necessária para órbita circular de raio
satisfaz
com
. Cancelando
e simplificando,
Passo 4
A ejeção faz o foguete (massa
) e o satélite
trocarem momento, de modo que antes da ejeção o momento total é só radial
. Depois, o satélite deve ter velocidade
em coordenadas
. Pela conservação de momento vetorial
Das componentes:
tangencial
tangencial
radial
Passo 5
A velocidade do foguete tem módulo
Logo a energia cinética do foguete é
Passo 6
Substituindo
e
:
Resposta
d)