Questão 08 -

Um satélite de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade vo da superfície da Terra. Depois de ter atingido uma altura R (medida a partir da superfície terrestre), é ejetado dele um foguete de massa m/10 e o satélite passa a orbitar a Terra em uma trajetória circular na altura R. Assinale a alternativa que consta a energia cinética do foguete.
Dados: R é o raio terrestre, M é a massa terrestre e G é a constante da gravitação.
a) \frac{3 m}{8}\left(v_{0}+\sqrt{\frac{5 G M}{6 R}}\right)^{2}.
b) \frac{m}{20}\left(v_{0}^{2}+\frac{113 G M}{200 R}\right).
c) \frac{\mathrm{m}}{20}\left(\mathrm{v}_{0}-\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{3 \mathrm{R}}}\right)^{2}.
d) 5 m\left(v_{0}^{2}-\frac{119 G M}{200 R}\right).
e) 4 m\left(v_{0}^{2}+\frac{119 G M}{200 R}\right).

Passo 1

O enunciado diz que um corpo de massa m é lançado verticalmente da superfície da Terra com velocidade inicial v_0 e atinge a altura h=R (onde R é também o raio da Terra). Nesse ponto, separa-se um foguete de massa m/10 e o restante 9m/10 entra em órbita circular a essa altura. Queremos a energia cinética do foguete imediatamente após a ejeção, usando conservação de energia para achar a velocidade radial antes da ejeção, conservação de força centrípeta para a velocidade orbital, e conservação de quantidade de movimento para as velocidades após a separação.

Passo 2

Determinar a velocidade radial u do conjunto justo ao passar pela altura R. Pela conservação de energia entre a superfície r=R e r=2R:
\frac12 m v_0^2 - \frac{G M m}{R} \;=\; \frac12 m\,u^2 - \frac{G M m}{2R}.
Isolando u^2,
\frac12 m\,u^2 = \frac12 m v_0^2 - \frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{2R} = \frac12 m v_0^2 - \frac{G M m}{2R},
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u^2 = v_0^2 - \frac{G M}{R}.

Passo 3

A velocidade necessária para órbita circular de raio 2R satisfaz
\frac{m_s\,v_{\rm circ}^2}{2R} \;=\;\frac{G M m_s}{(2R)^2},
com m_s=9m/10. Cancelando m_s e simplificando,
v_{\rm circ}^2 = \frac{G M}{2R}.

Passo 4

A ejeção faz o foguete (massa m_r=m/10) e o satélite m_s=9m/10 trocarem momento, de modo que antes da ejeção o momento total é só radial m\,u. Depois, o satélite deve ter velocidade (v_{\rm circ},0) em coordenadas (\text{tangencial},\text{radial}). Pela conservação de momento vetorial
m_s\,(v_{\rm circ},0)+m_r\,(v_{x},v_{y}) = (0,m\,u).
Das componentes:
tangencial
m_s\,v_{\rm circ} + m_r\,v_{x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{x} = -\frac{m_s}{m_r}\,v_{\rm circ} = -9\,v_{\rm circ},
radial
m_s\cdot 0 + m_r\,v_{y} = m\,u \quad\Longrightarrow\quad v_{y} = \frac{m}{m_r}\,u = 10\,u.

Passo 5

A velocidade do foguete tem módulo
v_r^2 = v_{x}^2 + v_{y}^2 = (9\,v_{\rm circ})^2 + (10\,u)^2 = 81\,v_{\rm circ}^2 +100\,u^2.
Logo a energia cinética do foguete é
K_r = \frac12\,m_r\,v_r^2 = \frac12\cdot\frac{m}{10}\bigl(81\,v_{\rm circ}^2 +100\,u^2\bigr) = \frac{81\,m\,v_{\rm circ}^2}{20}+5\,m\,u^2.

Passo 6

Substituindo v_{\rm circ}^2 = GM/(2R) e u^2 = v_0^2 - GM/R:
K_r = \frac{81\,m}{20}\,\frac{GM}{2R} + 5\,m\bigl(v_0^2 - \frac{G M}{R}\bigr) = 5m\,v_0^2 + \Bigl(\frac{81}{40}-5\Bigr)\frac{G M m}{R} = 5m\Bigl(v_0^2-\frac{119\,G M}{200\,R}\Bigr).

Resposta

d) 5 m\bigl(v_{0}^{2}-\tfrac{119\,G M}{200\,R}\bigr)

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