__ Questão 13.

Seja R um número real estritamente positivo fixado.
a) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x \operatorname{sen}\left(n^{3} x^{2}\right)}{n^{2}+n+5} é uniformemente convergente em [-R, R].
b) Calcule
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x \operatorname{sen}\left(n^{3} x^{2}\right)}{n^{2}+n+5} .
c) Mostre que a função dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x \operatorname{sen}\left(n^{3} x^{2}\right)}{n^{2}+n+5} é contínua em [0,1] e
\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-\cos \left(n^{3}\right)}{n^{5}+n^{4}+5 n^{3}} .

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a série de funções
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x\sin\bigl(n^{3}x^{2}\bigr)}{n^{2}+n+5}\,,
definida em [-R,R] com R>0 fixado:
– (a) mostrar que ela converge uniformemente em [-R,R],
– (b) calcular o limite do termo geral quando n\to\infty,
– (c) provar que a soma
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x\sin\bigl(n^{3}x^{2}\bigr)}{n^{2}+n+5}
é contínua em [0,1] e que
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\bigl(n^{3}\bigr)}{n^{5}+n^{4}+5n^{3}}.
Vamos usar o teste de Weierstrass para uniformidade, análise do termo geral, continuidade de limite uniforme e a integração termo a termo por convergência uniforme.

Passo 2

Prova de convergência uniforme em [-R,R] por parâmetro R>0:
Para todo x\in[-R,R] e todo n\ge1 temos
\Bigl|\tfrac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}\Bigr| \le \frac{|x|\cdot|\sin(n^3x^2)|}{n^2+n+5} \le \frac{R}{n^2+n+5}\le \frac{R}{n^2}.
Como a série numérica \sum_{n=1}^\infty \tfrac{R}{n^2} converge p-série com p=2>1, pelo teste de Weierstrass a série de funções converge uniformemente em [-R,R].

Passo 3

Cálculo do limite do termo geral:
Para cada x fixo,
\Bigl|\tfrac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}\Bigr| \le \frac{|x|}{n^2+n+5} \longrightarrow 0 \quad (n\to\infty),
então
\lim_{n\to\infty}\frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}=0.

Passo 4

Continuidade de f(x) em [0,1]:
Cada função x\mapsto \frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5} é contínua em [0,1]. Como já mostramos convergência uniforme em qualquer intervalo [-R,R], em particular em [0,1], o limite uniforme de funções contínuas é contínuo. Logo f é contínua em [0,1].

Passo 5

Integração termo a termo:
Pela convergência uniforme de \sum_{n=1}^\infty a_n(x) em [0,1], vale
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}\,dx.

Passo 6

Cálculo de cada integral
I_n=\int_{0}^{1}x\sin(n^3x^2)\,dx.
Fazemos a substituição u=n^3x^2, logo du=2n^3x\,dx e x\,dx=du/(2n^3). Os limites vão de x=0\implies u=0 até x=1\implies u=n^3. Assim
I_n=\int_{0}^{n^3}\sin(u)\,\frac{du}{2n^3} =\frac{1}{2n^3}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{n^3} =\frac{1}{2n^3}\bigl(1-\cos(n^3)\bigr).
Portanto
\int_{0}^{1}\frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}\,dx =\frac{1}{n^2+n+5}\;I_n =\frac{1}{2}\,\frac{1-\cos(n^3)}{n^3\,(n^2+n+5)} =\frac{1}{2}\,\frac{1-\cos(n^3)}{n^5+n^4+5n^3}.
Somando em n, obtemos
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos(n^3)}{n^5+n^4+5n^3}.

Resposta

a) A série converge uniformemente em [-R,R] pelo teste de Weierstrass.
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}=0.
c) f é contínua em [0,1] e
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos(n^3)}{n^5+n^4+5n^3}.

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