Seja R um número real estritamente positivo fixado.
a) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x \operatorname{sen}\left(n^{3} x^{2}\right)}{n^{2}+n+5} é uniformemente convergente em [-R, R].
b) Calcule
definida em [-R,R] com R>0 fixado:
– (a) mostrar que ela converge uniformemente em [-R,R],
– (b) calcular o limite do termo geral quando n\to\infty,
– (c) provar que a soma
Vamos usar o teste de Weierstrass para uniformidade, análise do termo geral, continuidade de limite uniforme e a integração termo a termo por convergência uniforme.
Passo 2
Prova de convergência uniforme em [-R,R] por parâmetro R>0:
Para todo x\in[-R,R] e todo n\ge1 temos
Como a série numérica \sum_{n=1}^\infty \tfrac{R}{n^2} converge p-série com p=2>1, pelo teste de Weierstrass a série de funções converge uniformemente em [-R,R].
Passo 3
Cálculo do limite do termo geral:
Para cada x fixo,
Continuidade de f(x) em [0,1]:
Cada função x\mapsto \frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5} é contínua em [0,1]. Como já mostramos convergência uniforme em qualquer intervalo [-R,R], em particular em [0,1], o limite uniforme de funções contínuas é contínuo. Logo f é contínua em [0,1].
Passo 5
Integração termo a termo:
Pela convergência uniforme de \sum_{n=1}^\infty a_n(x) em [0,1], vale
a) A série converge uniformemente em [-R,R] pelo teste de Weierstrass.
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x\sin(n^3x^2)}{n^2+n+5}=0.
c) f é contínua em [0,1] e