Questão 10.

Responda os seguintes itens:
a) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}} é uniformemente convergente em [0,1].
b) Se f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é a função dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}}, calcule \int_{0}^{1} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado define a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x), \quad f_n(x)=\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^5},
em [0,1] e pede:
a) mostrar que converge uniformemente em [0,1];
b) calcular
\int_{0}^{1}f(x)\,dx, \quad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x).
Vamos usar o Teste de Weierstrass para (a) e, para (b), a convergência uniforme garante que podemos integrar termo a termo, usando substituição adequada.

Passo 2

Para x\in[0,1] temos x^{2n}\ge0, logo
x^{2n}+n^5\;\ge\;n^5 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f_n(x)\bigr| =\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^5} \le\frac{x^{2n-1}}{n^5} \le\frac{1}{n^5}.
Como \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n^5} é convergente, pelo Teste de Weierstrass a série \sum f_n(x) converge uniformemente em [0,1].

Passo 3

A convergência uniforme em um intervalo fechado implica que a soma f(x) é integrável e que podemos trocar soma e integral:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}f_n(x)\,dx.

Passo 4

Calculemos
I_n=\int_{0}^{1}\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^5}\,dx.
Use u=x^{2n}, de onde du=2n\,x^{2n-1}dx, isto é, x^{2n-1}dx=\frac{du}{2n}. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Então
I_n =\int_{u=0}^{1}\frac{1}{u+n^5}\,\frac{du}{2n} =\frac{1}{2n}\int_{0}^{1}\frac{du}{u+n^5} =\frac{1}{2n}\Bigl[\ln(u+n^5)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2n}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n^5}\bigr).

Passo 5

Portanto
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}I_n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n^5}\Bigr).

Resposta

(a) A série converge uniformemente em [0,1] pelo Teste de Weierstrass com M_n=1/n^5.
(b) \int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n^5}\Bigr).

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