Seja R um número real estritamente positivo fixado.
a) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{e^{x}}{n^{3}+n+1}} \cos \left(n^{3} x\right) é uniformemente convergente em [-R, R].
b) Encontre g_{n}(x), n \geqslant 1, tal que se f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{e^{x}}{n^{3}+n+1}} \cos \left(n^{3} x\right), então
\int_{0}^{1} f(x) d x=\sum_{n=1}^{+\infty} g_{n}(x)
Passo 1
O enunciado define, para um real fixo R>0, a série de funções
e encontrar explicitamente cada g_{n}(x).
Para (a) vamos usar o Teste de Weierstrass (M-teste), e para (b) o fato de que a uniformidade em [0,1] garante a troca soma–integração.
Passo 2
Primeiro note que, para todo x\in[-R,R] e todo n\ge1, temos
e^{x}\le e^{R}.
n^{3}+n+1\ge n^{3}.
\bigl|\cos(n^{3}x)\bigr|\le1.
Logo cada termo da série satisfaz