Questão 12.

Seja R um número real estritamente positivo fixado.
a) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{e^{x}}{n^{3}+n+1}} \cos \left(n^{3} x\right) é uniformemente convergente em [-R, R].
b) Encontre g_{n}(x), n \geqslant 1, tal que se f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{e^{x}}{n^{3}+n+1}} \cos \left(n^{3} x\right), então
\int_{0}^{1} f(x) d x=\sum_{n=1}^{+\infty} g_{n}(x)

Passo 1

O enunciado define, para um real fixo R>0, a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{\frac{e^{x}}{n^{3}+n+1}}\;\cos\bigl(n^{3}x\bigr)
e pede:
a) mostrar que essa série converge uniformemente em [-R,R];
b) usando essa convergência, trocar soma e integral para escrever
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty}g_{n}(x)
e encontrar explicitamente cada g_{n}(x).
Para (a) vamos usar o Teste de Weierstrass (M-teste), e para (b) o fato de que a uniformidade em [0,1] garante a troca soma–integração.

Passo 2

Primeiro note que, para todo x\in[-R,R] e todo n\ge1, temos
  1. e^{x}\le e^{R}.
  2. n^{3}+n+1\ge n^{3}.
  3. \bigl|\cos(n^{3}x)\bigr|\le1.
    Logo cada termo da série satisfaz
\Biggl|\sqrt{\frac{e^{x}}{n^{3}+n+1}}\;\cos\bigl(n^{3}x\bigr)\Biggr| \le \sqrt{\frac{e^{R}}{n^{3}}} = \sqrt{e^{R}}\;\frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Como \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n^{3/2}} é convergente (série p-com p=3/2>1), definimos
M_{n}=\sqrt{e^{R}}\;\frac{1}{n^{3/2}},
de modo que \sum M_{n}<\infty e
\Bigl|u_{n}(x)\Bigr|\le M_{n} \quad\forall x\in[-R,R].
Pelo Teste de Weierstrass, a série \sum u_{n}(x) converge uniformemente em [-R,R]. Isso resolve o item (a).

Passo 4

Em particular em [0,1] a série converge uniformemente, então podemos trocar soma e integral:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \int_{0}^{1}\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)\Bigr)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}u_{n}(x)\,dx.

Passo 5

Basta, portanto, definir
g_{n}(x) = \int_{0}^{1}\sqrt{\frac{e^{t}}{n^{3}+n+1}}\;\cos\bigl(n^{3}t\bigr)\,dt.
Note que cada g_{n}(x) é independente de x (só depende de n), mas segue a notação pedida. Então
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty}g_{n}(x).

Resposta

a) A série converge uniformemente em [-R,R] por aplicativo do Teste de Weierstrass com M_{n}=\sqrt{e^{R}}\,n^{-3/2}.
b)
g_{n}(x) = \int_{0}^{1}\sqrt{\frac{e^{t}}{n^{3}+n+1}}\;\cos\bigl(n^{3}t\bigr)\,dt,
de modo que \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}g_{n}(x).

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