Questão 13.
Seja
um espaço vetorial e
fixo. Defina
, para algum
. Mostre que
é subespaço vetorial de
.
Seja
Passo 1
O enunciado define em um espaço vetorial
um conjunto
onde
é um vetor fixo. Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso, usamos o critério: um subconjunto não vazio é subespaço se for fechado em soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo o vetor nulo. Como em todo espaço vetorial vale
seguem-se que
. Logo,
é não vazio.
Passo 3
Fechamento na soma. Tomemos
. Então existem
tais que
A soma é
Como
, segue que
.
Passo 4
Fechamento na multiplicação escalar. Seja
e
. Existe
com
. Então
e como
concluímos que
.