Questão 13.
Seja V um espaço vetorial e v \in V fixo. Defina W=\{w \mid w= \lambda v, para algum \lambda \in \mathbb{R}\}. Mostre que W é subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define em um espaço vetorial V um conjunto
W = \{\,w \in V \mid w = \lambda v\text{ para algum }\lambda \in \mathbb{R}\},
onde v\in V é um vetor fixo. Queremos mostrar que W é subespaço de V. Para isso, usamos o critério: um subconjunto não vazio é subespaço se for fechado em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo o vetor nulo. Como em todo espaço vetorial vale
0 = 0\cdot v,
seguem-se que 0\in W. Logo, W é não vazio.

Passo 3

Fechamento na soma. Tomemos w_{1},w_{2}\in W. Então existem \lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{R} tais que
w_{1} = \lambda_{1}v \quad\text{e}\quad w_{2} = \lambda_{2}v.
A soma é
w_{1}+w_{2} = \lambda_{1}v + \lambda_{2}v = (\lambda_{1} + \lambda_{2})\,v.
Como \lambda_{1}+\lambda_{2}\in\mathbb{R}, segue que w_{1}+w_{2}\in W.

Passo 4

Fechamento na multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e w\in W. Existe \lambda\in\mathbb{R} com w=\lambda v. Então
\alpha\,w = \alpha(\lambda v) = (\alpha\lambda)\,v,
e como \alpha\lambda\in\mathbb{R} concluímos que \alpha\,w\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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