Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx
usando o método de frações parciais. Aqui vamos precisar de duas ideias:
  1. divisão de polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador;
  2. decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Como o numerador x^{2} e o denominador x^{2}+x-6 têm o mesmo grau, fazemos a divisão:
x^{2} = 1\cdot\bigl(x^{2}+x-6\bigr) + (-x+6).
Logo,
\frac{x^{2}}{x^{2}+x-6} = 1 + \frac{-x+6}{x^{2}+x-6}.
A integral se separa em
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx = \int 1\,dx + \int \frac{-x+6}{x^{2}+x-6}\,dx.

Passo 3

Fatoramos o denominador quadrático:
x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2).
Precisamos decompor
\frac{-x+6}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}.
Isso implica
-x+6 = A(x-2) + B(x+3).

Passo 4

Para encontrar A e B usamos valores convenientes de x:
  • Em x=2: -2+6=4 = A\cdot0 + B\cdot5, logo B = \tfrac{4}{5}.
  • Em x=-3: 3+6=9 = A\cdot(-5) + B\cdot0, logo A = -\tfrac{9}{5}.
Portanto
\frac{-x+6}{(x+3)(x-2)} = -\frac{9}{5}\,\frac{1}{x+3} + \frac{4}{5}\,\frac{1}{x-2}.

Passo 5

Substituindo na integral original:
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx = \int 1\,dx - \frac{9}{5}\int \frac{dx}{x+3} + \frac{4}{5}\int \frac{dx}{x-2}.
Integramos termo a termo:
\int 1\,dx = x, \quad \int \frac{dx}{x+3} = \ln\bigl|x+3\bigr|, \quad \int \frac{dx}{x-2} = \ln\bigl|x-2\bigr|.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx = x \;-\;\frac{9}{5}\ln\bigl|x+3\bigr| \;+\;\frac{4}{5}\ln\bigl|x-2\bigr| + C. }

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