Questão 9: Prove que
é um subespaço vetorial de
. Em seguida, determine uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
ou seja, pede-se o conjunto de todos os vetores
que satisfazem simultaneamente as duas equações
e
As perguntas são duas: (1) provar que
é um subespaço vetorial de
; (2) determinar uma base de
e a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, lembro o que significa ser subespaço vetorial (de um jeito direto e prático): um subconjunto
de
é subespaço se e somente se (i) contém o vetor nulo, (ii) é fechado sob adição (soma de dois vetores de
fica em
) e (iii) é fechado sob multiplicação por escalares (multiplicar um vetor de
por qualquer real dá um vetor em
). Vou checar essas três propriedades com os dados do enunciado. Isso é tudo que precisamos para provar que
é subespaço.
Passo 3
Verificação de que o vetor nulo está em
.
O vetor nulo em
é
. Substituindo nas equações:
e
Ambas as igualdades são verdadeiras, logo
. Portanto a condição (i) está satisfeita.
Passo 4
Fechamento por soma: pego dois vetores quaisquer de
e mostro que a soma está em
.
Sejam
Como
e
, ambos satisfazem as duas equações:
Considere a soma
Verifico que
satisfaz as equações definidoras de
. Para a primeira:
Para a segunda:
Portanto
. Assim a condição (ii) de fechamento por soma está satisfeita.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar: pego um vetor de
e um escalar qualquer e mostro que o produto escalar está em
.
Seja
e seja
. Como
, temos
Considere
. Verifico as duas equações:
Logo
. Assim a condição (iii) está satisfeita.
Passo 6
Conclusão sobre subespaço.
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, segue que
é um subespaço vetorial de
. (Pronto: parte da prova concluída.)
Passo 7
Agora vou parametrizar os vetores de
para encontrar uma base e a dimensão. Começo resolvendo o sistema linear formado pelas duas equações:
Da primeira equação obtenho
Substituo
na segunda equação:
Daqui segue
Portanto quaisquer
têm a forma
Fatorando
(que é um parâmetro real qualquer) tenho
Passo 8
Determinação da base e dimensão, com justificativa didática.
A parametrização mostrou que todo vetor em
é múltiplo escalar de
. Logo
. O conjunto formado por um único vetor não nulo
gera
. Um conjunto contendo um único vetor não nulo é automaticamente linearmente independente (porque a única combinação linear
exige
). Assim
é uma base de
.
Como a base tem exatamente um vetor, a dimensão de
é
.
(Se quiser um exemplo concreto: tomando
obtemos
, que é
.)