Questão 9: Prove que W=\{(x, y, z) \mid x+z=2 x-y-z=0\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Em seguida, determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+z=2x-y-z=0\},
ou seja, pede-se o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações
x+z=0
e
2x-y-z=0.
As perguntas são duas: (1) provar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3; (2) determinar uma base de W e a dimensão de W.

Passo 2

Primeiro, lembro o que significa ser subespaço vetorial (de um jeito direto e prático): um subconjunto W de \mathbb{R}^3 é subespaço se e somente se (i) contém o vetor nulo, (ii) é fechado sob adição (soma de dois vetores de W fica em W) e (iii) é fechado sob multiplicação por escalares (multiplicar um vetor de W por qualquer real dá um vetor em W). Vou checar essas três propriedades com os dados do enunciado. Isso é tudo que precisamos para provar que W é subespaço.

Passo 3

Verificação de que o vetor nulo está em W.
O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo nas equações:
0+0=0
e
2\cdot 0 - 0 - 0 = 0.
Ambas as igualdades são verdadeiras, logo (0,0,0)\in W. Portanto a condição (i) está satisfeita.

Passo 4

Fechamento por soma: pego dois vetores quaisquer de W e mostro que a soma está em W.
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in W\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Como u\in W e v\in W, ambos satisfazem as duas equações:
x_1+z_1=0,\qquad 2x_1-y_1-z_1=0,
x_2+z_2=0,\qquad 2x_2-y_2-z_2=0.
Considere a soma
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Verifico que u+v satisfaz as equações definidoras de W. Para a primeira:
(x_1+x_2)+(z_1+z_2)=(x_1+z_1)+(x_2+z_2)=0+0=0.
Para a segunda:
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=(2x_1-y_1-z_1)+(2x_2-y_2-z_2)=0+0=0.
Portanto u+v\in W. Assim a condição (ii) de fechamento por soma está satisfeita.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar: pego um vetor de W e um escalar qualquer e mostro que o produto escalar está em W.
Seja u=(x,y,z)\in W e seja \lambda\in\mathbb{R}. Como u\in W, temos
x+z=0,\qquad 2x-y-z=0.
Considere \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z). Verifico as duas equações:
\lambda x+\lambda z=\lambda(x+z)=\lambda\cdot 0=0,
2(\lambda x)-(\lambda y)-(\lambda z)=\lambda(2x-y-z)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda u\in W. Assim a condição (iii) está satisfeita.

Passo 6

Conclusão sobre subespaço.
Como W contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, segue que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. (Pronto: parte da prova concluída.)

Passo 7

Agora vou parametrizar os vetores de W para encontrar uma base e a dimensão. Começo resolvendo o sistema linear formado pelas duas equações:
x+z=0,
2x-y-z=0.
Da primeira equação obtenho
z=-x.
Substituo z=-x na segunda equação:
2x - y - (-x)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x - y + x = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x - y = 0.
Daqui segue
y=3x.
Portanto quaisquer (x,y,z)\in W têm a forma
(x,y,z)=(x,3x,-x).
Fatorando x (que é um parâmetro real qualquer) tenho
(x,3x,-x)=x\,(1,3,-1).

Passo 8

Determinação da base e dimensão, com justificativa didática.
A parametrização mostrou que todo vetor em W é múltiplo escalar de (1,3,-1). Logo W=\mathrm{span}\{(1,3,-1)\}. O conjunto formado por um único vetor não nulo (1,3,-1) gera W. Um conjunto contendo um único vetor não nulo é automaticamente linearmente independente (porque a única combinação linear \alpha(1,3,-1)=0 exige \alpha=0). Assim \{(1,3,-1)\} é uma base de W.
Como a base tem exatamente um vetor, a dimensão de W é \,1.
(Se quiser um exemplo concreto: tomando x=2 obtemos (2,6,-2)\in W, que é 2\cdot(1,3,-1).)

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^3.\nBase: \{(1,3,-1)\}.\nDimensão: 1.

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