Questão 7: Determine o valor de k para o qual \operatorname{det}(A-k I)=0, onde:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de k tais que \det(A - kI)=0, onde a matriz A é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Informações relevantes fornecidas: a matriz A é uma matriz 3\times3 e I é a matriz identidade 3\times3 (ou seja, uma matriz com 1 na diagonal e 0 nas outras entradas).

Passo 2

Vamos formar a matriz \,A - kI. Subtrair kI significa subtrair k de cada elemento da diagonal de A. Assim,
A - kI = \begin{pmatrix} 1-k & 2 & -3 \\\\ 0 & -1-k & 4 \\\\ 0 & 0 & 1-k \end{pmatrix}

Passo 3

Agora precisamos calcular \det(A-kI). Vou usar uma propriedade muito útil e simples de lembrar: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal. Explicando rapidinho por que isso é verdade: fazendo expansão por cofactores na primeira coluna de uma matriz triangular superior, só o elemento da primeira linha contribui (pois os elementos abaixo são zero). O menor resultante é novamente uma matriz triangular superior de dimensão menor; aplicando a mesma ideia recursivamente, o determinante vira o produto dos elementos da diagonal. Isso vale para matrizes de qualquer tamanho por indução.
Portanto, como A-kI é triangular superior, temos:
\det(A-kI) = (1-k)\,(-1-k)\,(1-k).

Passo 4

Reescrevendo o produto de fatores de forma mais compacta:
\det(A-kI) = (1-k)^2(-1-k).
Podemos também notar que -1-k=-(k+1), mas não precisamos expandir mais para resolver a equação.

Passo 5

Queremos os valores de k tais que \det(A-kI)=0. Igualando a zero:
(1-k)^2(-1-k)=0.
Um produto é zero quando ao menos um dos fatores é zero. Então as soluções são obtidas pelas equações:
1-k=0 \quad\text{ou}\quad -1-k=0.
A primeira dá k=1. Como o fator (1-k) aparece ao quadrado, k=1 é raiz de multiplicidade algébrica 2. A segunda dá k=-1, com multiplicidade 1.

Resposta

k=1 (multiplicidade 2)
k=-1

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