Questão 14.

Use séries de potências para resolver
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' - 2xy' + y = 0
pela método de séries de potências em torno de x=0. Vamos assumir solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
então calcular y' e y'' e impor que a combinação acima se anule para todo x.

Passo 2

Começamos escrevendo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, \quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_n x^{n-2}.
Queremos todas as somas em potências de x^m. Colocando m=n-2 em y'' e m=n em y' e em y, obtemos
y''=\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,x^m, \quad -2x\,y'=-2\sum_{m=0}^{\infty}m\,a_m\,x^m, \quad y=\sum_{m=0}^{\infty}a_m\,x^m.

Passo 3

Somando as três séries exige que o coeficiente de cada x^m seja zero:
(m+2)(m+1)\,a_{m+2}\;-\;2m\,a_m\;+\;a_m\;=\;0.
Isolando a_{m+2} vem a relação de recorrência
a_{m+2} \;=\;\frac{2m-1}{(m+2)(m+1)}\,a_m.

Passo 4

Essa relação liga termos de mesma paridade. Assim dividimos em duas séries independentes:
Parte par m=2k:
a_{2k+2} =\frac{2(2k)-1}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k} =\frac{4k-1}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k}.
Escolhendo a_0 livre, calculamos
a_2=-\frac{1}{2}\,a_0, \quad a_4=-\frac{1}{8}\,a_0, \quad a_6=-\frac{7}{240}\,a_0, \;\dots
Parte ímpar m=2k+1:
a_{2k+3} =\frac{2(2k+1)-1}{(2k+3)(2k+2)}\,a_{2k+1} =\frac{4k+1}{(2k+3)(2k+2)}\,a_{2k+1}.
Escolhendo a_1 livre, obtemos
a_3=\frac{1}{6}\,a_1, \quad a_5=\frac{1}{24}\,a_1, \quad a_7=\frac{3}{112}\,a_1, \;\dots

Passo 5

Logo a solução geral é
y(x)=a_0\,y_1(x)+a_1\,y_2(x),
onde as duas soluções fundamentais são as séries:
y_1(x) =1 -\frac{x^2}{2} -\frac{x^4}{8} -\frac{7\,x^6}{240} -\cdots,
y_2(x) =x +\frac{x^3}{6} +\frac{x^5}{24} +\frac{3\,x^7}{112} +\cdots.

Resposta

\boxed{y(x)=a_0\Bigl(1-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^4}{8}-\tfrac{7x^6}{240}-\cdots\Bigr) \;+\; a_1\Bigl(x+\tfrac{x^3}{6}+\tfrac{x^5}{24}+\tfrac{3x^7}{112}+\cdots\Bigr).}

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