Questão 14.
Use séries de potências para resolver
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
pela método de séries de potências em torno de
. Vamos assumir solução na forma
então calcular
e
e impor que a combinação acima se anule para todo
.
Passo 2
Começamos escrevendo
Queremos todas as somas em potências de
. Colocando
em
e
em
e em
, obtemos
Passo 3
Somando as três séries exige que o coeficiente de cada
seja zero:
Isolando
vem a relação de recorrência
Passo 4
Essa relação liga termos de mesma paridade. Assim dividimos em duas séries independentes:
– Parte par
:
Escolhendo
livre, calculamos
– Parte ímpar
:
Escolhendo
livre, obtemos
Passo 5
Logo a solução geral é
onde as duas soluções fundamentais são as séries: