Questão 13.
Use a série de potências para resolver a equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
usando a série de potências. O conteúdo aqui é aplicar séries de potências a EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos assumir que a solução pode ser escrita como
achar a relação de recorrência e, em seguida, reconhecer as séries resultantes.
Passo 2
Assumimos
Diferenciando duas vezes,
Passo 3
Para somar
e
sob o mesmo índice, mudamos
em
:
e
Então
Daí vem a relação de recorrência
Passo 4
Separamos os termos de índice par e ímpar.
Para
:
iterando e usando
livre, obtém-se
Para
:
iterando e usando
livre, obtém-se
Passo 5
Reescrevendo a solução geral como soma dos termos pares e ímpares:
Reconhecemos as séries de
e
.
Resposta
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.