Questão 16.

Encontre uma solução da equação de Airy
y^{\prime \prime}-x y=0,-\infty<x<\infty
em potências de (x-1)

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série da equação de Airy
y'' - x\,y = 0,\quad -\infty < x < \infty
centrada em x=1. Vamos mudar de variável para
t = x - 1
e construir uma série de potências em t.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,t^n.
Então
y'' = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,t^{n-2},
e
x\,y = (t+1)\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,t^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,t^{n+1} \;+\;\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,t^n.

Passo 3

Substituindo na equação y''-x\,y=0 e alinhando as potências de t^k, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)\,a_{k+2}\,t^k -\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}\,t^k -\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,t^k =0.
Igualando coeficientes de t^k a zero dá, para k=0:
2\cdot1\,a_2 - a_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2 = \frac{a_0}{2},
e para k\ge1:
(k+2)(k+1)\,a_{k+2} - a_{k-1} - a_k = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2} = \frac{a_{k-1} + a_k}{(k+2)(k+1)}.

Passo 4

Essa relação de recorrência mostra que os termos a_0 e a_1 são livres (duas constantes de integração). Assim, existem duas soluções independentes em série. Por exemplo, tomando
a_0 = 1,\quad a_1 = 0
obtemos a primeira série com coeficientes
a_2 = \tfrac12,\; a_3 = \tfrac{a_0+a_1}{3\cdot2}=\tfrac16,\; a_4 = \tfrac{a_1+a_2}{4\cdot3}=\tfrac1{24},\;\dots
Logo uma solução é
y = 1 + \frac12\,t^2 + \frac16\,t^3 + \frac1{24}\,t^4 + \cdots,
onde t = x-1.

Resposta

A solução em série centrada em x=1 é
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,(x-1)^n,
com recorrência
a_2 = \frac{a_0}{2}, \quad a_{k+2} = \frac{a_{k-1} + a_k}{(k+2)(k+1)},\quad k\ge1.
Escolhendo a_0=1,\;a_1=0 obtém-se
y = 1 + \frac12(x-1)^2 + \frac16(x-1)^3 + \frac1{24}(x-1)^4 + \cdots.

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