QUESTÃO 13 - VALOR
Quatro amigos estão em uma fila, e cada um segura um cartão com um algarismo diferente, formando um número de quatro algarismos (ABCD).
Para descobrir qual é esse número, siga as pistas sobre a posição de cada amigo na fila:
- O
da fila (milhar) tem o dobro do valor do
da fila (unidade).
- O
da fila tem
unidades a mais que o
da fila (centena).
- O
da fila (dezena) tem 5 unidades a mais que o
da fila.
- O
da fila tem
unidade a mais que o
da fila.
Após descobrir o número, marque a afirmação correta sobre ele:
A) O número é divisível por 5, pois termina em 4.
B) O número é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é 27.
C) O número é divisível por 10, pois é um número par.
D) O número é divisível por 4, pois termina em 94.
Para descobrir qual é esse número, siga as pistas sobre a posição de cada amigo na fila:
A) O número é divisível por 5, pois termina em 4.
B) O número é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é 27.
C) O número é divisível por 10, pois é um número par.
D) O número é divisível por 4, pois termina em 94.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
- Temos um número de quatro algarismos formado por quatro amigos na fila, representado por
, onde: -
é o algarismo das unidades de milhar (1.º da fila), -
é o algarismo das centenas (2.º da fila), -
é o algarismo das dezenas (3.º da fila), -
é o algarismo das unidades (4.º da fila).
-
- Os algarismos são todos diferentes entre si.
- As pistas são:
-
é o dobro de . -
tem unidades a mais que . -
tem unidades a mais que . -
tem unidade a mais que .
-
- O que se pede: descobrir o número
e então verificar qual alternativa (A, B, C ou D) está correta sobre esse número.
Passo 2
Vou traduzir cada pista para equações algébricas simples usando as variáveis
.
- Da pista 1:
. - Da pista 2:
, ou equivalentemente . - Da pista 3:
. - Da pista 4:
.
Agora temos quatro equações relacionando os quatro algarismos.
Passo 3
Combino as equações que envolvem
,
e
.
Das pistas 3 e 4 temos:
Igualando as duas expressões para
:
Isolando
:
Passo 4
Agora uso a equação da pista 1
junto com
. Igualando:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 5
Com
encontro os outros algarismos usando as relações anteriores:
-
. -
. -
.
Portanto os algarismos são
,
,
,
. Verifico rapidamente se são todos diferentes:
são distintos — OK. Também confirmo que
(importante, pois é algarismo de milhar).
Passo 6
Faço uma verificação direta das pistas substituindo no enunciado:
- Pista 1:
e → OK. - Pista 2:
e → OK. - Pista 3:
e → OK. - Pista 4:
e → OK.
Tudo confere. O número formado é
.
Passo 7
Agora analiso cada alternativa usando regras de divisibilidade (vou explicar as regras de forma prática e aplicar ao número
).
-
Regra do 5: um número é divisível por
somente se o último algarismo for ou . Aqui o último algarismo é . Logo a alternativa A está errada. -
Regra do 9: um número é divisível por
se a soma dos seus algarismos for múltiplo de . Calculo a soma:
Como
é múltiplo de
(
), concluímos que
é divisível por
. Assim a justificativa da alternativa B é correta.
(Explicação rápida do porquê dessa regra: para qualquer base 10, somar os algarismos corresponde a reduzir o número módulo
, por isso a soma ser múltiplo de
implica o número ser múltiplo de
.)
-
Regra do 10: um número é divisível por
somente se terminar em . Aqui termina em , então a alternativa C está errada. -
Regra do 4: um número é divisível por
se os seus últimos dois algarismos formarem um número divisível por . Os últimos dois algarismos são . Faço a divisão:
ou seja,
deixa resto
quando dividido por
, então
não é múltiplo de
. Logo
não é divisível por
e a alternativa D está errada.
Passo 8
Resumo lógico (sem repetir a resposta final explicitamente): o número é
. Das justificativas dadas nas alternativas, apenas a explicação em que a soma dos algarismos é
e leva à divisibilidade por
é correta; as demais justificativas estão incorretas.
Resposta
B)