QUESTÃO 13 - VALOR (0,3)

Quatro amigos estão em uma fila, e cada um segura um cartão com um algarismo diferente, formando um número de quatro algarismos (ABCD).
Para descobrir qual é esse número, siga as pistas sobre a posição de cada amigo na fila:
  1. O 1^{\underline{\circ}} da fila (milhar) tem o dobro do valor do \mathbf{4}^{\underline{\circ}} da fila (unidade).
  2. O \mathbf{1}^{\mathbf{0}} da fila tem \mathbf{2} unidades a mais que o \mathbf{2}^{\mathbf{0}} da fila (centena).
  3. O \mathbf{3}^{\underline{\circ}} da fila (dezena) tem 5 unidades a mais que o \mathbf{4}^{\underline{\circ}} da fila.
  4. O \mathbf{3}^{\mathbf{\circ}} da fila tem \mathbf{1} unidade a mais que o \mathbf{1}^{\mathbf{\circ}} da fila.
Após descobrir o número, marque a afirmação correta sobre ele:
A) O número é divisível por 5, pois termina em 4.
B) O número é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é 27.
C) O número é divisível por 10, pois é um número par.
D) O número é divisível por 4, pois termina em 94.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos um número de quatro algarismos formado por quatro amigos na fila, representado por ABCD, onde:
    • A é o algarismo das unidades de milhar (1.º da fila),
    • B é o algarismo das centenas (2.º da fila),
    • C é o algarismo das dezenas (3.º da fila),
    • D é o algarismo das unidades (4.º da fila).
  • Os algarismos são todos diferentes entre si.
  • As pistas são:
    1. A é o dobro de D.
    2. A tem 2 unidades a mais que B.
    3. C tem 5 unidades a mais que D.
    4. C tem 1 unidade a mais que A.
  • O que se pede: descobrir o número ABCD e então verificar qual alternativa (A, B, C ou D) está correta sobre esse número.

Passo 2

Vou traduzir cada pista para equações algébricas simples usando as variáveis A,B,C,D.
  • Da pista 1: A = 2D.
  • Da pista 2: A = B + 2, ou equivalentemente B = A - 2.
  • Da pista 3: C = D + 5.
  • Da pista 4: C = A + 1.
Agora temos quatro equações relacionando os quatro algarismos.

Passo 3

Combino as equações que envolvem C, A e D.
Das pistas 3 e 4 temos:
C = D + 5 \qquad\text{e}\qquad C = A + 1.
Igualando as duas expressões para C:
A + 1 = D + 5.
Isolando A:
A = D + 4.

Passo 4

Agora uso a equação da pista 1 A = 2D junto com A = D + 4. Igualando:
2D = D + 4.
Subtraindo D dos dois lados:
D = 4.

Passo 5

Com D = 4 encontro os outros algarismos usando as relações anteriores:
  • A = 2D = 2\cdot 4 = 8.
  • C = D + 5 = 4 + 5 = 9.
  • B = A - 2 = 8 - 2 = 6.
Portanto os algarismos são A=8, B=6, C=9, D=4. Verifico rapidamente se são todos diferentes: 8,6,9,4 são distintos — OK. Também confirmo que A\neq 0 (importante, pois é algarismo de milhar).

Passo 6

Faço uma verificação direta das pistas substituindo no enunciado:
  • Pista 1: A = 8 e 2D = 2\cdot4 = 8 → OK.
  • Pista 2: A = 8 e B + 2 = 6 + 2 = 8 → OK.
  • Pista 3: C = 9 e D + 5 = 4 + 5 = 9 → OK.
  • Pista 4: C = 9 e A + 1 = 8 + 1 = 9 → OK.
Tudo confere. O número formado é 8694.

Passo 7

Agora analiso cada alternativa usando regras de divisibilidade (vou explicar as regras de forma prática e aplicar ao número 8694).
  • Regra do 5: um número é divisível por 5 somente se o último algarismo for 0 ou 5. Aqui o último algarismo é 4. Logo a alternativa A está errada.
  • Regra do 9: um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9. Calculo a soma:
8 + 6 + 9 + 4 = 27.
Como 27 é múltiplo de 9 ( 27 = 9\cdot 3), concluímos que 8694 é divisível por 9. Assim a justificativa da alternativa B é correta.
(Explicação rápida do porquê dessa regra: para qualquer base 10, somar os algarismos corresponde a reduzir o número módulo 9, por isso a soma ser múltiplo de 9 implica o número ser múltiplo de 9.)
  • Regra do 10: um número é divisível por 10 somente se terminar em 0. Aqui termina em 4, então a alternativa C está errada.
  • Regra do 4: um número é divisível por 4 se os seus últimos dois algarismos formarem um número divisível por 4. Os últimos dois algarismos são 94. Faço a divisão:
94 = 4\cdot 23 + 2,
ou seja, 94 deixa resto 2 quando dividido por 4, então 94 não é múltiplo de 4. Logo 8694 não é divisível por 4 e a alternativa D está errada.

Passo 8

Resumo lógico (sem repetir a resposta final explicitamente): o número é 8694. Das justificativas dadas nas alternativas, apenas a explicação em que a soma dos algarismos é 27 e leva à divisibilidade por 9 é correta; as demais justificativas estão incorretas.

Resposta

B)

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