Questão 14- Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio R e um cilindro que a circunscreve, isto é, que toca a esfera ao longo do “equador” e nos dois polos. Precisamos encontrar
  1. A razão entre a área da superfície da esfera e a área total do cilindro.
  2. A razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro.

Passo 2

Como o cilindro circunscreve a esfera, o raio da base do cilindro é igual ao raio da esfera, isto é,
r = R,
e a altura do cilindro é o diâmetro da esfera, ou seja,
h = 2R.

Passo 3

Calculamos as áreas:
A área da superfície da esfera é
S_{\text{esfera}} = 4\pi R^2.
A área total do cilindro (área lateral mais duas bases) é
S_{\text{cilindro}} = 2\pi r h \;+\; 2\pi r^2 = 2\pi R\,(2R) \;+\; 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2.
Logo, a razão pedida é
\frac{S_{\text{esfera}}}{S_{\text{cilindro}}} = \frac{4\pi R^2}{6\pi R^2} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Agora os volumes:
O volume da esfera é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\,\pi R^3,
e o volume do cilindro é
V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h = \pi R^2\,(2R) = 2\pi R^3.
A razão entre eles fica
\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cilindro}}} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}.

Resposta

A razão entre as superfícies é \tfrac{2}{3} e a razão entre os volumes também é \tfrac{2}{3}.

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