Questão 13- Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio
e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre o volume de um cone equilátero de raio
e o volume de um cilindro inscrito nele, sabendo que a geratriz do cilindro vale o raio da base. O conteúdo principal envolve:
- Fórmula de volume do cone e do cilindro.
- Relação entre geratriz, raio e altura do cone (Pitágoras).
- Semelhança de triângulos para achar o raio do cilindro inscrito.
Passo 2
Num cone equilátero a geratriz da superfície lateral vale o diâmetro da base. Logo a geratriz do cone é
Aplicando Pitágoras ao triângulo que tem catetos
(raio) e
(altura) e hipotenusa
, obtemos
Passo 3
O volume do cone é dado por
Passo 4
Para o cilindro inscrito, a geratriz é igual ao raio da base do cilindro e vale
. Como a geratriz de um cilindro é sua altura, temos
Pela semelhança dos triângulos que aparecem ao cortar o cone por um plano axial, o raio do cilindro inscrito satisfaz
Passo 5
O volume do cilindro é
Passo 6
A razão entre o volume do cone e o do cilindro é
Racionalizando o denominador:
Resposta
A razão pedida é
.