Questão 13- Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume de um cone equilátero de raio \,R e o volume de um cilindro inscrito nele, sabendo que a geratriz do cilindro vale o raio da base. O conteúdo principal envolve:
  • Fórmula de volume do cone e do cilindro.
  • Relação entre geratriz, raio e altura do cone (Pitágoras).
  • Semelhança de triângulos para achar o raio do cilindro inscrito.

Passo 2

Num cone equilátero a geratriz da superfície lateral vale o diâmetro da base. Logo a geratriz do cone é
g = 2R.
Aplicando Pitágoras ao triângulo que tem catetos R (raio) e h (altura) e hipotenusa g, obtemos
h = \sqrt{g^2 - R^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{4R^2 - R^2} = R\sqrt{3}.

Passo 3

O volume do cone é dado por
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\,\pi R^2\,h = \frac{1}{3}\,\pi R^2\,(R\sqrt{3}) = \frac{\pi R^3\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Para o cilindro inscrito, a geratriz é igual ao raio da base do cilindro e vale R. Como a geratriz de um cilindro é sua altura, temos
H = R.
Pela semelhança dos triângulos que aparecem ao cortar o cone por um plano axial, o raio do cilindro inscrito satisfaz
\frac{r}{R} = \frac{h - H}{h} \quad\Longrightarrow\quad r = R\Bigl(1 - \frac{H}{h}\Bigr) = R\Bigl(1 - \frac{R}{R\sqrt{3}}\Bigr) = R\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = R\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

O volume do cilindro é
V_{\text{cil}} = \pi\,r^2\,H = \pi \Bigl(R^2\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3}\Bigr)\,R = \pi R^3\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3} = \pi R^3\frac{4 - 2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

A razão entre o volume do cone e o do cilindro é
\frac{V_{\text{cone}}}{V_{\text{cil}}} = \frac{\dfrac{\pi R^3\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{\pi R^3(4 - 2\sqrt{3})}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3})}{(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{16 - 12} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{2}.

Resposta

A razão pedida é \displaystyle \frac{2\sqrt{3}+3}{2}.

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