Questão 15- Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.
Passo 1
O enunciado quer a razão entre os volumes de dois cilindros equiláteros relacionados a uma esfera de raio
: um cilindro circunscrito à esfera e outro inscrito na esfera. Lembrando que “cilindro equilátero” significa que sua altura
é igual ao diâmetro da base, ou seja,
Vamos calcular separadamente
e
.
Passo 2
Para o cilindro circunscrito à esfera, a esfera fica totalmente dentro do cilindro, tocando as faces laterais e as bases. Logo o raio do cilindro é
e, por ser equilátero,
O volume desse cilindro é
Passo 3
Para o cilindro inscrito na esfera, a reta que vai do centro da base ao topo do cilindro junto à sua borda está contida na esfera. Assim, se
é o raio do cilindro e
sua altura, vale
Como é equilátero,
, então
Logo o volume é
Passo 4
A razão pedida é
Resposta
A razão entre os volumes é
.