Questão 15- Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.

Passo 1

O enunciado quer a razão entre os volumes de dois cilindros equiláteros relacionados a uma esfera de raio R: um cilindro circunscrito à esfera e outro inscrito na esfera. Lembrando que “cilindro equilátero” significa que sua altura h é igual ao diâmetro da base, ou seja,
h = 2r.
Vamos calcular separadamente V_{\rm circ} e V_{\rm insc}.

Passo 2

Para o cilindro circunscrito à esfera, a esfera fica totalmente dentro do cilindro, tocando as faces laterais e as bases. Logo o raio do cilindro é
r_{\rm circ}=R
e, por ser equilátero,
h_{\rm circ}=2r_{\rm circ}=2R.
O volume desse cilindro é
V_{\rm circ}=\pi\,r_{\rm circ}^2\,h_{\rm circ} =\pi\,R^2\,(2R) =2\pi\,R^3.

Passo 3

Para o cilindro inscrito na esfera, a reta que vai do centro da base ao topo do cilindro junto à sua borda está contida na esfera. Assim, se r_{\rm insc} é o raio do cilindro e h_{\rm insc} sua altura, vale
r_{\rm insc}^2 + \bigl(\tfrac{h_{\rm insc}}{2}\bigr)^2 = R^2.
Como é equilátero, h_{\rm insc}=2r_{\rm insc}, então
r_{\rm insc}^2 + r_{\rm insc}^2 = 2\,r_{\rm insc}^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad r_{\rm insc} = \frac{R}{\sqrt2},
h_{\rm insc}=2r_{\rm insc}=\frac{2R}{\sqrt2}=\sqrt2\,R.
Logo o volume é
V_{\rm insc} =\pi\,r_{\rm insc}^2\,h_{\rm insc} =\pi\bigl(\tfrac{R^2}{2}\bigr)\,(\sqrt2\,R) =\frac{\sqrt2}{2}\,\pi\,R^3.

Passo 4

A razão pedida é
\frac{V_{\rm circ}}{V_{\rm insc}} =\frac{2\pi\,R^3}{\tfrac{\sqrt2}{2}\,\pi\,R^3} =\frac{2}{\tfrac{\sqrt2}{2}} =\frac{2\cdot2}{\sqrt2} =\frac{4}{\sqrt2} =2\sqrt2.

Resposta

A razão entre os volumes é 2\sqrt2.

Exercícios relacionados