Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}+2y^{2}.
O que a questão pede: encontrar todos os pontos críticos de f e classificá‑los (ou seja, dizer se cada ponto crítico é máximo local, mínimo local, ponto de sela, e se houver, comentar sobre ser global).
Informações relevantes dadas:
\text{função } f(x,y)=x^{2}+2y^{2};\qquad\text{domínio: }\mathbb{R}^2.çãí

Passo 2

Como vamos encontrar pontos críticos: definimos o gradiente e igualamos a zero. Explicação didática: o gradiente de f, denotado \nabla f, é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Cada derivada parcial mede a variação de f quando alteramos uma variável mantendo a outra fixa. Se \nabla f(x,y)=\mathbf{0}, o ponto (x,y) é candidato a ponto crítico.
Calculemos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)=2x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)=4y.

Passo 3

Agora igualamos o gradiente a zero:
\begin{cases} f_x(x,y)=2x=0,\\[4pt] f_y(x,y)=4y=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação obtemos x=0 e y=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Explicando: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais e resume a curvatura da função perto do ponto. Para duas variáveis,
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,\qquad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4y)=4,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,\qquad f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(4y)=0.
Portanto, a Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},
que é constante (não depende de (x,y)).]

Passo 5

Aplicando o teste das segundas derivadas (forma prática para duas variáveis): calcule o determinante principal
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Substituindo os valores:
D = 2\cdot 4 - 0^{2} = 8.
Como D>0 e f_{xx}=2>0, a conclusão do teste é que o ponto crítico é um mínimo local. Aqui explico a lógica: quando D>0 a Hessiana é definida (ou definida negativa); se além disso f_{xx}>0 então a Hessiana é positiva definida — curvatura para cima em todas as direções — indicando mínimo local.

Passo 6

Mostrando que esse mínimo local é também mínimo global: a função é um polinômio quadrático da forma x^{2}+2y^{2}. Para qualquer (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}>0 ou y^{2}>0, e então
x^{2}+2y^{2}>0.
Logo f(x,y)\ge 0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 e f(0,0)=0. Portanto não existe valor menor que 0; assim (0,0) é mínimo global.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0). É mínimo local e mínimo global, com valor f(0,0)=0.

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