Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que a questão pede: encontrar todos os pontos críticos de
e classificá‑los (ou seja, dizer se cada ponto crítico é máximo local, mínimo local, ponto de sela, e se houver, comentar sobre ser global).
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Como vamos encontrar pontos críticos: definimos o gradiente e igualamos a zero. Explicação didática: o gradiente de
, denotado
, é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Cada derivada parcial mede a variação de
quando alteramos uma variável mantendo a outra fixa. Se
, o ponto
é candidato a ponto crítico.
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 3
Agora igualamos o gradiente a zero:
Resolvendo cada equação obtemos
e
. Logo o único ponto crítico é
.]
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Explicando: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais e resume a curvatura da função perto do ponto. Para duas variáveis,
Calculemos as segundas derivadas:
Portanto, a Hessiana é
que é constante (não depende de
).]
Passo 5
Aplicando o teste das segundas derivadas (forma prática para duas variáveis): calcule o determinante principal
Substituindo os valores:
Como
e
, a conclusão do teste é que o ponto crítico é um mínimo local. Aqui explico a lógica: quando
a Hessiana é definida (ou definida negativa); se além disso
então a Hessiana é positiva definida — curvatura para cima em todas as direções — indicando mínimo local.
Passo 6
Mostrando que esse mínimo local é também mínimo global: a função é um polinômio quadrático da forma
. Para qualquer
temos
ou
, e então
Logo
para todo
e
. Portanto não existe valor menor que
; assim
é mínimo global.
Resposta
O único ponto crítico é
. É mínimo local e mínimo global, com valor
.