Questão 14 -

Considere n mols de um gás ideal que são resfriados isocoricamente e então submetidos a uma expansão isobárica até que sua temperatura volte ao valor inicial. Sabendo que a pressão variou k (com k>1 ) vezes nesse processo, assinale o item que apresenta o valor correto para a variação de entropia do gás.
a) \Delta \mathrm{S}=\mathrm{nR} Ink .
b) \Delta S=-n R \ln k.
c) \Delta \mathrm{S}=2 \mathrm{nR} \operatorname{lnk}.
d) \Delta \mathrm{S}=-2 \mathrm{nR} Ink .
e) \Delta S=4 n R \operatorname{lnk}.

Passo 1

O enunciado considera n mols de um gás ideal que sofrem primeiro um resfriamento isocórico (volume constante) e depois uma expansão isobárica (pressão constante) até que a temperatura volte ao valor inicial. Sabe-se que a pressão durante o processo isocórico cai de P_1 para P_2 de modo que \tfrac{P_1}{P_2}=k>1. Queremos calcular a variação de entropia total \Delta S do gás usando as fórmulas de entropia para processos reversíveis de gás ideal, em que
\Delta S=\int \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}\,.

Passo 2

Identificamos as temperaturas nos estados:
  • Estado inicial: (P_1,V,T_1).
  • Após o resfriamento isocórico: V constante e P_2=P_1/k, logo
T_2 = \frac{P_2 V}{nR} = \frac{P_1}{k}\,\frac{V}{nR} = \frac{T_1}{k}.
  • Após a expansão isobárica: pressão P_2 constante e temperatura retorna a T_3=T_1.

Passo 3

Para o resfriamento isocórico, \delta Q_\text{rev}=nC_V\,dT. Assim,
\Delta S_1 = \int_{T_1}^{T_2} \frac{nC_V\,dT}{T} = nC_V \ln\!\bigl(\tfrac{T_2}{T_1}\bigr) = nC_V \ln\!\bigl(\tfrac{T_1/k}{T_1}\bigr) = -\,nC_V\ln k.

Passo 4

Para a expansão isobárica, \delta Q_\text{rev}=nC_P\,dT. Assim,
\Delta S_2 = \int_{T_2}^{T_3} \frac{nC_P\,dT}{T} = nC_P \ln\!\bigl(\tfrac{T_3}{T_2}\bigr) = nC_P \ln\!\bigl(\tfrac{T_1}{T_1/k}\bigr) = nC_P\ln k.

Passo 5

Somando as duas contribuições e usando C_P - C_V = R,
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = -nC_V\ln k + nC_P\ln k = n(C_P - C_V)\ln k = nR\ln k.

Resposta

(a) \Delta S = nR \ln k.

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