e pede para determinar uma base e a dimensão de W_{1}+W_{3}.
Informações relevantes (do enunciado):
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2z=0\},
W_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,1),(1,-1,2)\}.
Passo 2
Vamos escrever W_{1} de forma paramétrica (isso nos dá geradores explícitos). A condição x-2z=0 implica x=2z. Tomando parâmetros y e z livres, qualquer vetor de W_{1} é
(x,y,z)=(2z,y,z)=y\,(0,1,0)+z\,(2,0,1).
Portanto
W_{1}=\operatorname{span}\{(0,1,0),(2,0,1)\}.
Breve lembrança didática sobre “base” e “independência linear”:
Uma coleção de vetores forma uma base de um subespaço se eles geram o subespaço e são linearmente independentes.
Vetores u,v são linearmente independentes se a única solução de a u + b v = 0 é a=b=0. No caso de dois vetores em \mathbb{R}^3, é suficiente ver que um não é múltiplo escalar do outro.
No nosso caso, (0,1,0) não é múltiplo de (2,0,1), logo são linearmente independentes e geram W_{1}. Assim \dim W_{1}=2.
Verificamos independência: v_4 não é múltiplo de v_3 (por exemplo, componentes não são escalares correspondentes), então v_3,v_4 são linearmente independentes. Portanto \dim W_{3}=2.
Ou seja, W_{1}+W_{3} é o subespaço gerado pela união dos geradores de W_{1} e W_{3}. Para encontrar uma base e a dimensão do somatório basta extrair, dessa lista de vetores, um subconjunto maximal linearmente independente. Isso se faz computando a dimensão do span (posto) desses vetores.
Passo 5
Formamos a matriz cujas colunas são os quatro vetores geradores:
A matriz tem 3 linhas não nulas na forma escalonada, logo o posto de A é 3. Isso significa que as colunas geram um subespaço de dimensão 3.]
Passo 6
Como estamos em \mathbb{R}^3, qualquer subespaço de dimensão 3 é todo \mathbb{R}^3. Portanto
W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^3
e \dim(W_{1}+W_{3})=3.
Além disso, da eliminação observamos que as três primeiras colunas são linearmente independentes (os pivôs apareceram nas colunas 1,2,3), então uma base formada por vetores entre os geradores é, por exemplo,
\{(2,0,1),\;(0,1,0),\;(1,1,1)\}.
Podemos também usar a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, já que o subespaço é \mathbb{R}^3.
Resposta
Uma base é \{(2,0,1),\,(0,1,0),\,(1,1,1)\} \dim(W_{1}+W_{3})=3