Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} W_{1}=\{(x, y, z) \mid x-2 z=0\}\\\ W_{2}=\{(x, y, z) \mid 2 y+z=0\}\\\ W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)]\\\ W_{4}=[(1,2,3),(2,-3,2)] \end{gathered}
Determine uma base e a dimensão de:
W_{1} \cap W_{3}

Passo 1

O enunciado dá quatro subespaços de \mathbb{R}^3 e pede especificamente W_{1}\cap W_{3}. As informações relevantes são:
W_{1}=\{(x,y,z)\mid x-2z=0\},
W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)].
O que é pedido: determinar uma base de W_{1}\cap W_{3} e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Interpretação prática das definições (explicando as notações usadas):
  • W_{1} é o conjunto de vetores (x,y,z) que satisfazem a equação linear x-2z=0. Isso quer dizer que, para um vetor estar em W_{1}, sua coordenada x deve ser igual a 2z.
  • W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)] significa o span (o subespaço gerado) pelos vetores (1,1,1) e (1,-1,2). Isto é, um vetor v\in W_{3} tem a forma
v = a(1,1,1)+b(1,-1,2),
onde a e b são números reais quaisquer. Vou escrever componentes desse vetor explicitamente: ao somar as componentes,
v=(a+b,\; a-b,\; a+2b).
Na prova, essa é a forma padrão: escrevo um vetor genérico do span em função de parâmetros a,b.

Passo 3

Agora imponho a condição de W_{1} ao vetor genérico de W_{3}. A condição de W_{1} é x-2z=0, ou seja x=2z. Substituindo as componentes do vetor de W_{3}:
a+b = 2(a+2b).
Vou resolver essa equação passo a passo:
a+b = 2a+4b
0 = 2a+4b - (a+b) = a+3b
a+3b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-3b.
Portanto, qualquer vetor de W_{1}\cap W_{3} corresponde a valores (a,b) com a=-3b.

Passo 4

Substituo a=-3b nas componentes do vetor genérico (a+b,\;a-b,\;a+2b):
a+b = -3b + b = -2b,
a-b = -3b - b = -4b,
a+2b = -3b + 2b = -b.
Logo, todo vetor em W_{1}\cap W_{3} tem a forma
b(-2,\,-4,\,-1),\quad b\in\mathbb{R}.
Isto mostra que W_{1}\cap W_{3} é um subespaço unidimensional (uma reta através da origem) gerado pelo vetor (-2,-4,-1).

Passo 5

Escolho uma base mais agradável (podemos multiplicar o gerador por -1 sem mudar o span). Assim, uma base conveniente é
\{(2,4,1)\},
porque (2,4,1) = -1\cdot(-2,-4,-1). Verificação rápida (útil para prova): (2,4,1) pertence a W_{1} pois 2-2\cdot1=0, e pertence a W_{3} pois existe a,b tais que a(1,1,1)+b(1,-1,2)=(2,4,1) — de fato a=3, b=-1 funciona (verifique: 3+(-1)=2, 3-(-1)=4, 3+2(-1)=1). Como encontramos exatamente um vetor gerador não-nulo, a dimensão é 1.

Resposta

Base: \{(2,4,1)\}
Dimensão: \,1

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