Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do
:
Determine uma base e a dimensão de:
Passo 1
O enunciado dá quatro subespaços de
e pede especificamente
. As informações relevantes são:
O que é pedido: determinar uma base de
e a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Interpretação prática das definições (explicando as notações usadas):
-
é o conjunto de vetores que satisfazem a equação linear . Isso quer dizer que, para um vetor estar em , sua coordenada deve ser igual a . -
significa o span (o subespaço gerado) pelos vetores e . Isto é, um vetor tem a forma
onde
e
são números reais quaisquer. Vou escrever componentes desse vetor explicitamente: ao somar as componentes,
Na prova, essa é a forma padrão: escrevo um vetor genérico do span em função de parâmetros
.
Passo 3
Agora imponho a condição de
ao vetor genérico de
. A condição de
é
, ou seja
. Substituindo as componentes do vetor de
:
Vou resolver essa equação passo a passo:
Portanto, qualquer vetor de
corresponde a valores
com
.
Passo 4
Substituo
nas componentes do vetor genérico
:
Logo, todo vetor em
tem a forma
Isto mostra que
é um subespaço unidimensional (uma reta através da origem) gerado pelo vetor
.
Passo 5
Escolho uma base mais agradável (podemos multiplicar o gerador por
sem mudar o span). Assim, uma base conveniente é
porque
. Verificação rápida (útil para prova):
pertence a
pois
, e pertence a
pois existe
tais que
— de fato
,
funciona (verifique:
,
,
). Como encontramos exatamente um vetor gerador não-nulo, a dimensão é
.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: