ou seja, o espaço é gerado pela união dos quatro vetores. Para obter uma base do somatório, precisamos extrair um subconjunto desses geradores que seja linearmente independente e que gere o mesmo espaço. A dimensão de W_{3}+W_{4} é então o número de vetores dessa base (o posto dos vetores).
Método que vamos usar: colocar os quatro vetores como colunas de uma matriz 3\times4 e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para determinar o posto (número de colunas linearmente independentes). Durante a eliminação veremos se algum vetor é combinação linear dos outros (o que reduz a dimensão).
Passo 3
Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2:
Observação sobre o que isso significa: chegamos a uma matriz em que as três primeiras colunas têm pivôs (colunas com a primeira aparição de 1 em linhas distintas). Isso indica que as colunas originais 1, 2 e 3 — correspondentes a \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 — são linearmente independentes. A quarta coluna, na forma reduzida, é \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}, o que mostra que a quarta coluna é combinação linear das três primeiras com coeficientes 1,2,-1. Em termos dos vetores originais:
O posto (rank) da matriz A é 3. Logo \dim(W_{3}+W_{4})=3.
Uma base de W_{3}+W_{4} pode ser obtida escolhendo três vetores independentes entre os geradores. As colunas pivotadas mostraram que \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 são independentes e geram todo o espaço gerado pelos quatro vetores. Portanto esses três formam uma base.