Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} W_{1}=\{(x, y, z) \mid x-2 z=0\}\\\ W_{2}=\{(x, y, z) \mid 2 y+z=0\}\\\ W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)]\\\ W_{4}=[(1,2,3),(2,-3,2)] \end{gathered}
Determine uma base e a dimensão de:
W_{3}+W_{4}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar uma base e a dimensão do subespaço \,W_{3}+W_{4}\,.
Informações relevantes dadas (extraídas do enunciado):
\begin{gathered} W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)]\\[4pt] W_{4}=[(1,2,3),(2,-3,2)] \end{gathered}
Ou seja, W_{3} é o subespaço gerado pelos vetores
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix},
e W_{4} é o subespaço gerado pelos vetores
\mathbf{w}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}_2=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Entendendo o que é W_{3}+W_{4} e como encontrar uma base:
W_{3}+W_{4}=\{u+v \mid u\in W_{3},\\ v\in W_{4}\}
Uma forma prática de trabalhar é lembrar que
W_{3}+W_{4}=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\},
ou seja, o espaço é gerado pela união dos quatro vetores. Para obter uma base do somatório, precisamos extrair um subconjunto desses geradores que seja linearmente independente e que gere o mesmo espaço. A dimensão de W_{3}+W_{4} é então o número de vetores dessa base (o posto dos vetores).
Método que vamos usar: colocar os quatro vetores como colunas de uma matriz 3\times4 e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para determinar o posto (número de colunas linearmente independentes). Durante a eliminação veremos se algum vetor é combinação linear dos outros (o que reduz a dimensão).

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 2 & -3\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações de linha (explicando cada passo):
  1. Subtraímos a primeira linha das outras duas para eliminar a primeira coluna abaixo do pivô:
R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1.
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuamos a eliminação para obter forma escalonada:
  1. Troca das linhas R_2 e R_3 para ter pivô mais conveniente:
R_2\leftrightarrow R_3,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
  1. Eliminamos o elemento -2 na posição (3,2) somando 2 vezes R_2 a R_3:
R_3\leftarrow R_3+2R_2,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 & -5 \end{pmatrix}.
  1. Dividimos a terceira linha por 5 para simplificar o pivô:
R_3\leftarrow \tfrac{1}{5}R_3,
resultado
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Terminamos de reduzir para triagem das colunas independentes:
  1. Eliminamos os elementos acima do pivô da terceira linha:
R_2\leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_1\leftarrow R_1-R_3,
o que dá
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Eliminamos o 1 na posição (1,2) usando R_2:
R_1\leftarrow R_1-R_2,
obtendo a forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Observação sobre o que isso significa: chegamos a uma matriz em que as três primeiras colunas têm pivôs (colunas com a primeira aparição de 1 em linhas distintas). Isso indica que as colunas originais 1, 2 e 3 — correspondentes a \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 — são linearmente independentes. A quarta coluna, na forma reduzida, é \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}, o que mostra que a quarta coluna é combinação linear das três primeiras com coeficientes 1,2,-1. Em termos dos vetores originais:
\mathbf{w}_2 = 1\cdot\mathbf{v}_1 + 2\cdot\mathbf{v}_2 -1\cdot\mathbf{w}_1,
verificável diretamente:
\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2-\mathbf{w}_1 =\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]2\end{pmatrix} =\mathbf{w}_2.]

Passo 6

Conclusões a partir da eliminação:
  • O posto (rank) da matriz A é 3. Logo \dim(W_{3}+W_{4})=3.
  • Uma base de W_{3}+W_{4} pode ser obtida escolhendo três vetores independentes entre os geradores. As colunas pivotadas mostraram que \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1 são independentes e geram todo o espaço gerado pelos quatro vetores. Portanto esses três formam uma base.

Resposta

Base: \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}\right\}
Dimensão: \;3]

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