Questão 15: Determine as coordenadas do vetor u=(1,2,-1) em relação à base \alpha=\{(1,1,1),(1,-1,1),(-1,1,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \;u=(1,2,-1)\; e a base \;\alpha=\{(1,1,1),(1,-1,1),(-1,1,1)\}\;.
A pergunta é: determinar as coordenadas de \;u\; em relação à base \;\alpha\;, ou seja, encontrar os escalares que expressam \;u\; como combinação linear dos vetores de \;\alpha.

Passo 2

Definição e incógnitas.
As coordenadas de \;u\; em relação à base \;\alpha\; são os escalares \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} tais que
\lambda_{1}(1,1,1)+\lambda_{2}(1,-1,1)+\lambda_{3}(-1,1,1)=(1,2,-1).
Isto significa que precisamos resolver para \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} a igualdade vetorial acima.

Passo 3

Converter a igualdade vetorial em um sistema por componentes. Somando componente a componente obtemos:
\begin{cases} \lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{3}=1,\\[4pt] \lambda_{1}-\lambda_{2}+\lambda_{3}=2,\\[4pt] \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=-1. \end{cases}
Cada linha corresponde à igualdade das componentes x, y e z, respectivamente.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (eliminação simples). Primeiro subtraio a primeira equação da terceira para eliminar \lambda_{1} e \lambda_{2}:
(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})-(\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{3})=-1-1.
No lado esquerdo sobra 2\lambda_{3} e no direito -2. Logo
2\lambda_{3}=-2\quad\Rightarrow\quad \lambda_{3}=-1.

Passo 5

Substituir \lambda_{3}=-1 nas outras equações para encontrar \lambda_{1} e \lambda_{2}. Pela primeira equação:
\lambda_{1}+\lambda_{2}-(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}+\lambda_{2}+1=1 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}+\lambda_{2}=0.
Da segunda equação:
\lambda_{1}-\lambda_{2}+(-1)=2 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}-\lambda_{2}-1=2 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}-\lambda_{2}=3.

Passo 6

Resolver o sistema simples
\begin{cases} \lambda_{1}+\lambda_{2}=0,\\[4pt] \lambda_{1}-\lambda_{2}=3. \end{cases}
Somando as duas equações:
2\lambda_{1}=3 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}=\frac{3}{2}.
Substituindo em \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 obtemos
\lambda_{2}=-\lambda_{1}=-\frac{3}{2}.]

Passo 7

Interpretação final e unicidade. Encontramos
\lambda_{1}=\frac{3}{2},\qquad \lambda_{2}=-\frac{3}{2},\qquad \lambda_{3}=-1.
Como \alpha é uma base (vetores linearmente independentes que geram \mathbb{R}^{3}), essas coordenadas são únicas.

Passo 8

Um exemplo rápido para fixar a ideia: em \mathbb{R}^{2}, com base \{(1,1),(1,-1)\}, para escrever (2,0) como combinação desses vetores resolvemos
a(1,1)+b(1,-1)=(2,0),
o que dá o sistema a+b=2,\;a-b=0. Daí a=b=1, logo as coordenadas de (2,0) nessa base são (1,1). É o mesmo procedimento, só em dimensão 2.

Resposta

[u]_{\alpha}=\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2},-1\right)

Exercícios relacionados