Questão 15: (ITA-98) Seja as matrizes
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rr} 2+a & a \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] \\\ & B=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\\ a & a+2 \end{array}\right] . \end{aligned}
Ache \operatorname{tr}\left[(A B)^{-1}\right].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \tr\bigl[(AB)^{-1}\bigr] para duas matrizes 2\times2. Para isso, vamos usar estes ingredientes:
  1. multiplicar A por B para obter AB;
  2. calcular \det(AB) e \tr(AB);
  3. lembrar que, para toda matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix},
temos
M^{-1}=\frac1{\det M}\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\\ -m_{21}&m_{11}\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \tr\bigl(M^{-1}\bigr)=\frac{m_{11}+m_{22}}{\det M}=\frac{\tr(M)}{\det M}.

Passo 2

Vamos multiplicar
A=\begin{pmatrix}2+a&a\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\a&a+2\end{pmatrix}.
Temos
AB =\begin{pmatrix} (2+a)\cdot1 + a\cdot a & (2+a)\cdot1 + a\cdot(a+2)\\\\ 1\cdot1 + 1\cdot a & 1\cdot1 + 1\cdot(a+2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a^2 + a + 2 & a^2 + 3a + 2\\\ a + 1 & a + 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos primeiro a traço e o determinante de AB.
A traço é a soma das entradas diagonais:
\tr(AB) = \bigl(a^2+a+2\bigr) + \bigl(a+3\bigr) = a^2 + 2a + 5.
O determinante é
\det(AB) =(a^2+a+2)(a+3)- (a^2+3a+2)(a+1).
Desenvolvendo,
(a^2+a+2)(a+3)=a^3+4a^2+5a+6,\quad (a^2+3a+2)(a+1)=a^3+4a^2+5a+2,
logo
\det(AB)=\bigl(a^3+4a^2+5a+6\bigr)-\bigl(a^3+4a^2+5a+2\bigr)=4.

Passo 4

Pela fórmula para o traço da inversa de uma matriz 2\times2,
\tr\bigl[(AB)^{-1}\bigr] =\frac{\tr(AB)}{\det(AB)} =\frac{a^2+2a+5}{4}.

Resposta

\tr\bigl[(AB)^{-1}\bigr]=\frac{a^2+2a+5}{4}.

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